由“表象认知”走向“实质理解”的图形概念课设计

张友峰

摘要：图形概念课是图形教学的起始课，重要性不言而喻，本文通过有机整合各类教学手段，突破表象认知，理念概念本质。分三部分来尝试突破教学瓶颈：一是学生借助生活情境入手，抽象感知圆的基本特点，形成表象认知;二是学生通过几何画板的强大功能，突破圆本质认识的瓶颈;三是学生通过动手实践、微课学习和画图操作等活动，掌握画圆方法，深刻认识画圆本质。

关键词：表象认知 实质理解 图形概念课 圆的认识

“圓的认识”是一节非常经典的数学课作为圆相关知识的种子课，为圆形的面积和周长学习奠定基础在教材中的地位和价值不言而喻。在实际教学中，很多学生对于圆的概念认识停留于表象阶段，不能实质理解概念本质。本课主要通过科学整合信息技术，提供多样化的探究活动，帮助学生突破图形概念课的认知困境，理解圆的本质意义，最终提升学生的几何直观和数学想象能力，使图形概念教学由“表象认知”走向“实质理解”。

1始于体验，抽象感悟圆

依据范希尔的几何思维水平理论，本课的设计必定要尊重孩子的认知规律，同时又要抓住圆的本质特征。“圆”是怎样一种图形？如何帮助学生抽象出圆的本质特征是本课的核心问题。图形认识课肯定是从生活情境人手、去除非本质特征、抽象本质特征的一个过程。为使抽象之路变得更顺畅，主要做了如下尝试：

1.1 生活情境中导入，初步感知圆

生活中处处都有圆，学生对圆已经有了一定的概念认知，借助学生的生活经验，抽象出圆的表象是一种比较好的导入方式。主要设计了两个层次：第一个层次是在学生充分表达的基础上，通过生活中的圆进一步抽象出数学中的圆，这是一个水到渠成的步骤;第二个层次是使学生在数学文化渗透和图形比较中，思考圆的特殊性。所有平面图形中，圆是最美的，最美在哪儿？椭圆也是曲线图形，椭圆为什么不是最美的呢？圆的本质特点肯定不仅仅局限于曲线图形，圆区别于其它平面图形的最特别的地方是研究重点（图1），学生带着疑问进入下面的实践探究活动。

以上两个环节，学生初步感知圆在生活中无处不在，圆既与生活经验有关，又与数学文化有关，两者勾连自然导人新课。

1.2画图操作中体会，深入感知圆

画圆的实践操作分为两个层次，首先是借助生活中的圆形物体画圆，例如圆柱形的罐子、硬币等等，学生在一年级下册初步认识圆形的时候已经体验过了，本环节让学生再次操作画圆，通过动手体验初步体会圆的特点：一种曲线图形。

第二个层次是徒手画圆，徒手画圆看似简单，其实背后隐藏着一定的数学道理。圆的本质是“一中同长”，徒手画圆时，学生的潜意识中就受这一条规则引导，这是一种体验式的、很难用语言描述的数学表达。借助徒手画圆，学生分析并思考变得更圆一些的方法，发现要使圆变得更圆些，上面和下面的距离要和左右两边的距离相等，为下面揭示圆的本质特点做好铺垫。

上图中，学生用水彩笔在纸上徒手画一个圆，徒手画出来的圆各不相同，学生潜意识里都有一个相同的画圆的思路，很难用语言描述。通过展示学生典型作品“两边对称，上面有点扁”这种情况。追问：“你可以帮老师修改一下吗？”学生提出：“上面和下面的距离要和左右两边的距离相等。”进而发现：要使徒手画的圆更圆，中间到上面和下面，中间到左边和右边的距离都要相等，这其实也是学生关于圆的认知起点。通过画图操作激了发学生的探究兴趣，为本质揭示提供了研究素材。

2落于画板，理解国的本质

数学几何画板是一种非常好用的教学软件，在中学数学教学中经常使用，“圆的认识”这一课中有许多内容可以运用几乎画板来进行整合教学。本环节教学中，学生的认知困惑是“圆，一中同长”这一概念本质如果通过实践操作深入理解。如果仅仅只是被动接受，学生是很难真正理解“一中”“同长”的数学含义的，借助几何画板的演示交互功能，可以有效提升教学层次性。本环节主要安排了以下几个操作流程：

2 1画板操作中发现，感知点的特点

教材中关于圆的认知，只涉及到圆心、半径和直径，笔者个性化设计了“中心点”和“参考点”，给学生一个认知的“台阶”。通过若干个特殊点来初步感知圆上点的特点，主要分三步操作开展：首先通过两根完全相同的线段，必须中心点到参考点距离相等，得到4个参考点，学生发现借助参考点画出的圆仍然不圆，进而引发思考。然后，通过轨迹点的操作，在中心点周围不断寻找合适的参考点。最后呈现密布状态的参考点，学生再次画圆，发现圆越来越圆了，深刻感受到圆上点的特点 到中心点距离相等（图3）。

笔者认为这个环节是本课的设计精髓，三个步骤既然有师生互动交流，又有画图体验操作，最终感悟发现，自然揭示圆的概念本质，充分发挥了几何画板的互动演示优势。

2.2数学想象中生华，内化圆的特征

图形概念课操作很重要，体验很重要，但是数学想象更重要。圆上的点是画不完的，圆的形成是一个循序渐进的过程先找一个中心点，再找4个参考点，参考点和中心点的距离是同样长的（固定的长度），参考点越多，这个图形也就越接近于圆。学生头脑中想象：如果参考点越来越多，当参考点变成无数个并布满周围整整一圈的时候，就变成了一个圆。

如果让学生再来说一说心中的圆是怎样的，相信会有新的感悟和认识：圆就由一个中心点和无数个到中心点固定长度的参考点组成的。同时，渗透中国古代墨子的“圆，一中同长也”，从操作层面升华到概念本质层面，图形概念教学的认知难点也得到突破。

2.3动态体验中揭示，明晰各部分名称

几何画板在圆的概念本质揭示中有着强大作用，在圆各部分认识中也有着较大的价值。

例如，可以固定一个点，动态拖动另一个点改变线段长度，目前绝大部分软件是缺乏这方面功能的。在半径和直径认识中，可以借助几何画板拖动一个端点，改变线段的长度和位置，这对于学生深入理解半径和直径很有帮助。信息技术与课程整合需要“润物细无声”，潜移默化渗透在数学教学中，几何画板可以无缝嵌入PPT课件，可以赋予课件强大的互动功能，突破教学难点，理清概念特征。

3终于操作，画圆中引领提升

3.1多重感悟中明悟，深入理解圆的本质

借助几何画板，学生深入理解了圆的本质，还可以借助折一折、摇一描、小组讨论等活动进一步内化圆的本质理解。例如一张圆形纸片通过折一折寻找圆心，原理就来源于直径的概念，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，那么两条不同的直径肯定相交于圆心。如果只是抽象的推理解释，学生很难接受，但是通过折一折的活动，学生在操作中自然感悟到了直径的特点。描一描半径和直径操作中，可以让学生更好的体会到“圆上”和“经过圆心”的图形特点。图形概念课需要操作，借助操作活动，从直观到半抽象的，再由半抽象到抽象，逐步提升。

3.2微课指导中规范，科学掌握画圆方法

微课是教学的重要补充，画圆环节就可以借助微课来指导教学，给予学生规范的操作方法。观看微视频寻找圆心和半径在哪里，明确画圆的基本要求，再通过呈现错误画法，分析可能哪里出了问题？（两脚间距离变动，针尖动了）进而认识到半径确定了圆的大小，圆心确定圆的位置。画圆又分了两个层次：一是任意画一个圆，让学生体会圆的画法和注意事项;二是画一个规定大小的圆，标出各部分名称，让学生认识到要定长。两个层次的画图操作，可以提升学生的画图实际操作能力。

3.3比较想象中拓展，深刻认识画圆本质

通过圆规画圆、操场画圆、身体画圆三种不同的画圆方式，开展讨论交流，发现不同画圆方法的相同之处：一个中心点（定点）、一个固定的长度（定长璇转一周勾连画圆方法和圆的本质的联系——“圆，一中同长也”。最后利用几何画板的迭代功能，呈现正三边形到正无数边形的演变过程，从另一个角度认识圆的意义，拓展学生思路。

通过本课的设计与实践，有以下几方面思考：一是几何画板在小学数学高年级图形教学中具备很强的研究价值，充分发挥好技术的功能，可以为图形教学服务;二是概念教学需要多样态的活动方式，单一的活动操作会僵化学生的认知，开放性的手段可以激发学生的学习兴趣;三是图形概念教学需要经历“表象——思考——想象理解”的思维过程，在认知冲突与思维碰撞中，走向学的彼岸。