空间问题多面化，多解思维显身手——2019年全国卷Ⅰ理科第12题评析

☉福建省福州第十一中学 杨秀丽

一、真题再现

【高考真题】（2019·全国卷Ⅰ理·12）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）.

本题以三棱锥与球的位置关系为问题背景，利用相应线段的长度与角度的关系，确定三棱锥的准确信息，为进一步求解与应用提供条件.而结合两空间几何体的位置关系，可以从多个角度进行切入，从解三角形思维、空间几何思维、空间向量思维、空间坐标思维等入手，都可以得到有效破解，达到解决问题的目的.

二、一题多解

1.思维角度1：解三角形思维

结合空间几何体中对应的三角形问题，通过解三角形思维，利用余弦定理来转化相应三角形中对应的线段长度与角度的关系，进而得以求解相应的线段长度，进一步转化与确定球的半径，从而达到求解的目的.

方法1：（余弦定理法1）设PA=PB=PC=2x，而E，F分别是PA，AB的中点，则有EF∥PB，且

图1

作PD⊥AC交AC于点D，则知点D为AC的中点，

把三棱锥P-ABC补成对应的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，

方法2：（余弦定理法2）设PA=PB=PC=2x，而E，F分别是PA，AB的中点，则有EF∥PB，且.

在△EPC中，由余弦定理，可得CE2=x2+4x2-2×x×2x×cos∠EPC=x2+2，

又∠CEF=90°，则有CE2+EF2=CF2，即x2+2+x2=3，解得，

以下步骤同方法1部分，故选择答案：D.

方法3：（余弦定理法3）设PA=PB=PC=2x，而E，F分别是PA，AB的中点，则有EF∥PB，且.

以下步骤同方法1部分，故选择答案：D.

2.思维角度2：空间几何思维

结合空间几何体的性质，通过几何法思维，利用空间点、线、面的平行与垂直关系的判定与性质加以推理与证明，结合相关的定义进而得以求解相应的线段长度，进一步转化与确定球的半径，从而达到求解的目的.

方法4：（垂直关系转化法）由于PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，

所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，可得PB⊥AC，

又E，F分别是PA，AB的中点，则有EF∥PB，可得EF⊥AC.

又∠CEF=90°，即EF⊥CE，AC∩CE=C，可得EF⊥平面PAC，则有PB⊥平面PAC，

则有PB⊥PA，即∠APB=90°，可得PA=PB=PC=.

把三棱锥P-ABC补成对应的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球.

3.思维角度3：空间向量思维

结合空间几何体中相关的空间向量的线性运算与数量积运算，通过空间向量思维，结合空间向量数量积的转化得以确定侧棱的垂直关系，进而得以求解相应的线段长度，进一步转化与确定球的半径，从而达到求解的目的.

方法5：（基底法1）由于∠CEF=90°，则有，即，

把三棱锥P-ABC补成对应的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，

方法6：（基底法2）由于∠CEF=90°，则有即

又△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC，则知△PAB≌△PBC，

以下步骤同方法5部分，故选择答案：D.

三、变式拓展

探究：保持原来题目的条件，通过直接求解球O的半径或求解球O的表面积等方式加以变式，难度保持不变，考点相差无几.

【变式1】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的半径为______.

【变式2】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的表面积为______.

解析：结合以上高考真题的解析方法可知R=，可得球O的表面积S=4πR2=6π，

故填答案：6π.

四、规律总结

与球有关的组合体问题，往往与棱柱、棱锥等加以组合，以选择题、填空题的形式在高考中频繁出现，比如球的内接多面体问题、球的外切多面体问题等.破解此类问题的关键是抓住球心到多面体的各个面的距离等于球的半径（内切球）或球心到多面体的各个顶点的距离等于球的半径（外接球），进而合理建立等量关系来达到处理与求解的目的.