“深度学习”从“问题提出”开始*——以一道教材例题为例

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

问题不仅是深度学习的载体，也是深度学习的原动力.在数学学习活动中，要让学生意识到有数学问题的存在，并且自己需要问“为什么”、“是什么”、“怎么办”，这样才能激起学习中的思维火花，而且这种问题意识越强烈，自己的思维就越活跃、越深刻、越富有创造性.在一节数学课中，引入、探究、例题、练习等环节都离不开数学问题，好的数学问题往往就是课堂教学走向成功的关键.但在实际教学中，教师将大量的精力投入到了“对现有问题的解决”，却“很少对有关数学问题的产生、表达和提出的过程给予直接的关注”，从而使得学生的数学学习无法走向深入.因此，组织、引导学生发现、提出有价值的问题，并围绕问题进行深入探究已经成为教师开展课堂教学的首要任务.下面笔者就以美国学者Gonzales提出的“学生提出数学问题信息来源”理论为基础，结合人教A版选修2-1“2.4.1抛物线及其标准方程”中的一道例题，谈谈自己的看法.

原问题：一种卫星接收天线的轴截面如图1所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标（人教A版选修2-1）.

图1

图2

一、立足已知信息提出问题，分解思维的难度

在面对一个较为复杂的数学问题时，学生可能会一时无法获得正确的解题思路.这时教师可以通过引导学生提出一些连续的、精炼的问题串的方式，将问题的已知信息与目标之间的逻辑关系梳理清楚，从而将复杂的总目标一层一层分解为简单的次目标，再集中力量逐步攻克次目标，最终实现对原问题的圆满解决.

对于上述这样一个具有丰富现实背景的应用问题，它考查的是把实际问题转化为数学问题，把实物模型转化为数学模型的能力.教师在教学中，不必急于步入“问题解决”的环节，而是鼓励学生通过对构成问题情境的基本要素进行观察、分析，并深入挖掘出隐藏于其中的数学关系，然后以问题链的形式把自己对原始问题的理解及可能出现的结果呈现出来.具体如下表所示：

通过对表格中的问题的思考，解题思路呼之欲出：

如图2，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合.

设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），由已知条件得，点A的坐标为（0.5，2.4），代入方程得p=5.76，所求抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标为（2.88，0）.

问题链的提出不仅使难点得以逐个突破，而且使学生独立获得解题思路.因此，从本质上讲，提出问题的过程也是学生探索解题思路，形成解决方案的过程.

二、修改信息提出问题，拓宽思维的广度

问题的提出不仅是问题解决的开始，也是一个发现和产生新的数学问题的过程.教师启发学生大胆修改问题中的已知信息，并确定新的未知构成要素，从而提出一个新的数学问题.一般对已知信息的修改可以从条件、结论、模型、情境等方面入手，下表是对上述问题的修改示例.

不同的修改视角，又产生一系列不同的新问题.例如，把“抛物线”模型修改为“椭圆”模型后，学生可能又会提出下面几个问题：

①椭圆是否也具有汇聚波束的作用？如果没有，那么它会有其他怎样的性质？（过其中一个焦点的波束经过椭圆反射后从另一个焦点处射出.）

②椭圆这一性质有什么样的应用价值？

③生活中有没有具体的应用案例？（应用一：电影放映机的聚光灯.它的形状是旋转椭圆面，为了使片门，即电影胶片通过的地方获得最强的光线，灯丝与片门应位于椭圆的两个焦点处.应用二：医学上的体外碎石技术.医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置上，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石.）

学习者只有具备了能与已学知识相对应的认知结构，思考过程中才会经常出现“为什么”，并提出问题.而这些问题犹如一条条火花，向周围延伸，从而建立起数学知识之间非人为的实质性联系，不断地拓宽学生的认知结构.

三、拓展信息提出问题，挖掘思维的深度

问题的提出是一个由浅入深的思考过程.从浅层次的角度看，它是学生对已经发现或产生的“问题”所进行的（文字的或言语的）表达，厘清解决问题的思路；从深层次的角度看，它是学生“问题意识”的形成和数学本质的揭示过程.因此，展示隐藏在数学问题背后的数学原理，揭示数学本质才是问题提出的目的.

对原问题稍微拓展一下，就很容易提出“抛物线为何具有汇聚信号的作用，如何用数学进行证明”的问题.这个问题显然比原问题更加具有数学研究的价值，对学生的思维是一大挑战，这又需要经历一个提出问题的过程：

①抛物线汇聚信号的性质在物理上是如何称呼的？

②如何用数学语言描述抛物线的这一性质？

③要证明这一性质关键要说明什么？（证明反射角与入射角相等或者说明入射点关于镜面的对称点在反射光线上）

④证明方法有几种（反证法、解析法）？

问题1：已知抛物线的焦点为F，直线m为抛物线的准线，P为抛物线上的一个点，过点P作直线m的垂线，垂足为P′.过点P作抛物线的切线l，F关于切线l的对称点为F′，证明：F′、P、P′三点共线.

反证法：如图3，假设F′、P、P′三点不共线，由|PF′|=|PF|，|PF|=|PP′|得|PF′|=|PP′|.又因为直线PP′⊥m，所以点F′在直线m的右侧.

过点F′作直线m的垂线，交抛物线于点M，交直线m于点N，则|MN|＞|MF′|，由抛物线的定义得|MN|=|MF|，则|MF|＞|MF′|.

图3

由M在切线l右侧可得|MF|＜|MF′|，这与上式矛盾.因此，F′、P、P′三点共线.

这个问题的解决，学生实现了从“知其然”到“知其所以然”的跨越，揭开了“抛物线”光学性质的面纱.以问题1为原问题，又可以通过“修改信息”提出新的问题，比如，把“抛物线”改成“椭圆”、“双曲线”，又该如何证明它们的光学性质呢？因此，数学问题的提出不仅展示了学生对数学概念发展的理解水平，而且也反映了学生对数学本质的理解水平.

四、附加信息提出问题，提升思维的高度

问题提出的过程是一种内隐的复杂的认知过程，它源于怀疑，是对理性的一种批判.问题产生的缘由可能是为了解决现实生活中的问题，也可能是附加信息的自然逻辑延伸，而这种逻辑延伸使得学生在思考问题时更能高瞻远瞩，宏观把握.

深入分析原问题，还可以从“抛物线的光学性质”中提炼出“抛物线的定义”，要发现这一点，只需要添加一个条件：“作出抛物线的入射光线与反射光线”，这就又生成了一个新的问题视角：

①如何确定每一组入射、反射光线所在的“镜面”？

②这些“镜面”与抛物线存在什么关系？

③无数个“镜面”最终能组成什么图形？

④能否从“作图”中发现抛物线的几何性质？

这个问题很容易与“折纸”联系起来：

第一步：准备一张长方形纸片ABCD，在CD的垂直平分线上取一点F.

第二步：在CD上任取一点P，然后将纸片对折，使得P点和F点重合，这时得到一条折痕，为了看清楚，可以把折痕画出来（如图4所示）.

第三步：展开纸片，再在CD上取其他的点，然后重复步骤三.这样连续下去，会得到很多折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了何种曲线.

图4

图5

“折痕”就是抛物线的切线，在这些切线的“包络”下，就形成了一条抛物线的轮廓，而且在折纸的过程中，很容易提炼出抛物线的定义.

如图5所示，过P点作直线垂直于DC交折痕于点M.根据折纸原理可知|MF|=|MP|，即动点M满足到定点的距离和到定直线DC的距离相等.

问题的提出与问题的解决相伴相形、相得益彰，提出问题→解决问题→提出较高层次的问题→解决较高层次的问题→提出更高层次的问题→……如此形成一个螺旋上升的“问题链”，进而生成具有挑战性的学习主题，学生围绕着这些主题，经历全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的深度学习过程.