对中考图形旋转问题的探究

邓沛森

摘 要 图形旋转是新课标重要的内容之一，也是中考常考的内容之一，是教学的重点和难点。学生解题要把握图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量，也要结合不同背景中有关几何图形的旋转问题题型，教师需引导与培养学生的自主探究、分析和解决问题的能力。笔者在常规教学中，浸透旋转思想，通过新旧知识类比，激化学生勇于思考，拓展学生的数学思维，大大提高解决图形旋转问题的有效性。

关键词 图形旋转;常规教学;类比;思考与探索

中图分类号：A，O421+.4 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）05-0147-02

图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一，有利于培养学生实践与操作能力，形成空间观念和运动变化意识。旋转问题在中考题中很常见，而且很多作为开放题，这要求考生具备扎实数学的基本功、较强的观察力及综合分析问题的能力，解题时要切实把握几何图形运动过程，并注意运动过程中特殊位置，抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。在“动”中探求：“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.同时在平时教学中需要浸透图形旋转思想，引导学生进行知识类比，激发学生勇于思想，拓展数学思维。

一、常规教学引入旋转思想，促进学生思考解题思路

解题思路是解决数学问题的突破口，学生拿到题目后，首要任务就是从题目中找到切入口，我们要在平时教学中加以应用，将图形的旋转解决思想融入常规的教学中，培养学生解题思维。

（一）《扇形的弧长和面积》教学中，引入线段旋转思想

解决中考旋转问题，不仅需要针对性题目训练，在平时教学中也需引入旋转思想，让学生理解数学图形的由来，同时将数学的代数与图形进行整合，提高教学的有效性。

例1：推导“弧长及扇形的面积”公式（如图1）

首先让学生了解生成圆与扇形的由来，定义：圆是由线段绕着固定一点O旋转一周而成的图形，而扇形是线段绕着固定一点O旋转n度的图形。结合圆心面积S=的公式，推导扇形面积公式1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。90°的圆心角所对的扇形面积S扇形，结合圆的周长公式：C=2пR，推导弧长公式1°的圆心角所对的弧长是_______。

90°的圆心角所对的弧长是_______。

……

n°的圆心角所对的弧长是_______。

推导：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=。

评注：很多老师把教学的重点放在公式的记忆上，但笔者认为记忆公式固然重要，关键是旋转图形知识的形成与公式推导。前者，学生记忆完公式后，容易忘记;后者，遗忘率较低，即便出现忘记公式，学生也能自己推导出来。教师切记要求学生理解扇形与圆是半径绕着固定点O而成的图形，笔者在教学中使用此方法，收到良好的效果。

（二）学习《全等三角形》引入图形旋转问题

在全等三角形证明过程中，很多是图形旋转的问题，如果能加入旋转思想，部分复杂的题目便简单化，那么学生解决全等三角形问题能力大大加强，同時能促进旋转思想的教学，为解决中考旋转问题埋下伏笔。

教学中常规题目：

例2：图2.已知在△ABC中，ADBC于D，AD=BD，DC=DE，求证：∠C=∠1。

略证：∵ADBC，∠ADC=∠BDE=90

∵AD=BD，DC=DE，∴△BDE≌△ADC.∴∠C=∠1。

评注：这虽然只是证明两个三角形全等，但可以加入旋转思想，将△BDE绕点D旋转后则与△ADC重合，如果学生掌握旋转思想，那么学习全等三解形的证明与图形旋转相互相承，达到事半功倍的效果。

此类型问题在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定、圆以及直角坐标系等很多章节都有与图形旋转有关的题目。教师在常规教学中浸透图形旋转或变换思想，引导学生学习图形旋形进行思考与探索。

二、引导学生进行知识类比，提高解题效率

所谓类比，就是用熟悉的问题的解决方面去解决新问题的一种解题方法，通过类比，发现新题型的共同点，利用已有知识，解决新的问题，从而提高解题的效率。

（一）利用中考题之间进行类比

例3：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0<α<120°），得△A₁BC₁，交AC于点E，AC分别交A₁C₁、BC于D、F两点。

（1）如图3，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论;

（2）如图3，当=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由;

（3）在（2）的情况下，求ED的长。

【答案】（1）EA=FC;提示证明△ABE≌△CBF（2）①菱形（证明略）

（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1

在Rt△AEG中，

由（2）知AD=AB=2  ∴ED=AD-AE=2-

评注：利用证明全等三角形旋转的思想，对两道中考题，通过知识的类比，对知识进行迁移，学生很容易找到旋转思想的突破点，这样两道中考题就容易解决了，从而打开学生的思路。

（二）三角形旋转与四边形旋转进行类比

例4（07年台州市）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图7）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

分析：（1）由已知正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，所以可得AG=AB;

（2）要证明线段HG与线段HB相等只需证明这两条线段所在的两个三角形是否全等即可;或证明△GHB是否为等腰三角形也可以解：HG=HB。

证法1：连结AH（如图4）.

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，

∴∠B=∠G=90°.

由题意，知AG=AB，又AH=AH，

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.

∴HG=HB.

三、激励学生勇于思考，开拓数学思维

例5（2009，广东）（1）如图10，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为的半径，ODBC于点F，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的。（2）如图11，若∠DOE保持角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

证明：（1）如图，连结OA、OC，因为点o是等边三角形ABC的外心，所以，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA

，因为，所以。

（2）解法：連结OA、OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AO=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∠3=∠5，

在△OAG和△OCF中

∴△OAG≌△OCF。

评注：这道题是三角形与圆结合在一起的旋转问题，第一问题相对容易，利用垂径定理及全等三角形便解决问题;第二问题，考生紧紧抓住△COF旋转到△AOG，得到△AOG≌△COF，确定在旋转过程中哪一些不变量与变量，无论题型如何变化，万变不离其宗。

四、总结

《数学课程标准》将图形的变换作为重要的学习内容，图形的运动是研究图形性质的有效方法，轴对称、平移、旋转是初中几何重要的图形变换，其中图形的旋转较为复杂，变化较多。而且此类型问题在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定、圆以及直角坐标系等。

通过以上几例发现，在解决几何图形的旋转问题时，关键要抓住图形在旋转过程中，对应角、对应线段的大小保持不变，以及图形在旋转过程中，对应线段的夹角也相等，这些不变量非常重要，解题时还要切实把握几何图形的运动过程。因此，教师在平时教学和复习中，利用课本已有的几何旋转题型，结合不同背景中有关几何图形的旋转问题题型，引导与培养学生的自主探究、分析和解决问题的能力。这样在中考旋转问题上才能不慌不忙，寻找突破口。

面对中考图形变换，笔者将旋转思想引入常规教学中，刚开始学生拿到题目都无从下手，笔者对上述方法引领学生进行发现、研究、推导，通过新旧知识类比，激化学生勇于思考，拓展学生的数学空间，所带的班在中考这类问题上，往往得分率较高，收获很大。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.

[2]义务教育课程标准实验教科书.数学九年级下册.