圆幂定理及其应用*

☉北京市丰台二中 甘志国

圆幂定理在平面几何中有重要应用，相交弦定理与切割线定理都是其重要推论，反过来，用它们也可给出圆幂定理的证明.文章还给出了圆幂定理在解答自主招生试题中的应用.

圆幂定理：若过定点P作一动直线与定圆⊙O（其半径是R）交于A、B两点，则PA·PB=|OP2-R2|（把常数|OP2-R2|叫作定点P对于定圆O的幂）.

证明：当点P在⊙O外时，如图1所示，作PT切⊙O于点T，连接OT、OP，可得∠OTP=90°.

图1

图2

由切割线定理及勾股定理，可得PA·PB=PT2=OP2-R2=|OP2-R2|.

当点P在⊙O上时，不妨设点A与点P重合，可得PA·PB=0=|OP2-R2|.

当点P在⊙O内，即点P在线段AB上且不是端点时，如图2所示，作⊙O过点P的直径ST.

由相交弦定理及勾股定理，可得PA·PB=PS·PT=（R-OP）（R+OP）=R2-OP2=|OP2-R2|.

综上所述，可得欲证结论成立.

注：由该证明可得：也可把圆幂定理的结论用向量表示为

题目：（2013年北京大学暑期体验营数学试题第3题）已知抛物线y=x2+ax+b与坐标轴交于三个两两互异的点A、B、C，且△ABC的外心在直线y=x上，求a+b的值.

解法1：可设点A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，b）（b≠0）.

因为点A、B均在抛物线y=x2+ax+b上，所以x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个根.

由于△ABC的外心在直线y=x上，可设△ABC的外接圆方程是x2+y2+mx+my+n=0.由点A、B均在该圆上，可得x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根.

所以m=a，n=b.

再由点C（0，b）在圆x2+y2+mx+my+n=0上，可得b2+ab+b=0（b≠0），则a+b=-1.

解法2：可设点A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，b）（b≠0）.

因为点A、B均在抛物线y=x2+ax+b上，所以x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个根（因而x1x2=b）.

由于△ABC的外心在直线y=x上，可设△ABC的外接圆圆心为.再由圆幂定理的注可 得x1x2=b=，则a+b=-1.

注：本题源于2008年高考江苏卷第18题：

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图像与两坐标轴共有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.