注重联系，立足整体，提升能力，发展素养*——以“不等式与不等式组”单元复习课（第1课时）为例

☉福建省厦门大学附属实验中学 林运来

☉福建省漳平第二中学 廖易新

复习课教学难，“简单”内容的复习课教学更难，这是数学教师普遍反映的问题.日常的复习课存在“三多三少”现象：教师讲得多，提炼得少；学生做得多，思考得少；现成资料多，自主设计少.更为突出的是“简单”内容的复习，俨然成了“鸡肋”.有的教师在思想上对“简单”内容不是很重视，课堂上往往照本宣科，一带而过；有的教师认为反正内容“简单”，复习不复习无所谓，干脆让学生看一看书，做一两套单元复习卷，便算完成了教学任务.复习课一方面要回归基础，完善知识体系；另一方面要加强联系和综合，提炼思想方法，整体培育数学学科核心素养.新形势下的单元复习教学应摒弃以知识点为中心的做法，倡导“大观念”“大主题”“大过程”的教学，为课堂教学指向学科核心素养提供有效路径.尤其是在强调核心素养的当下，如何抓住更核心的内容，以“更少”的概念，进行“更深”层次的教学，实现学科知识的“整合”，促进学生发展学科素养，是我们需要思考的，也是我们需要改变的.因此，“简单”内容的复习课，教师不仅要让“简单”内容教得深刻，从中“做足”学生对数学的理解，还应高瞻远瞩，置“简单”内容于广阔的数学学科背景之中，深入挖掘其蕴含的育人功能，追求教学价值的最大化，提高学生的数学素养.

2019年4月17日—20日，笔者在福建省“十三五”中学数学学科带头人集中培训活动中，执教了一节“简单”内容的复习课——“不等式与不等式组”单元复习课（第1课时），笔者践行“教思考、教体验、教表达”的理念（即“三教”理念），考虑从“衔接·整体·联系”的视角对本课内容进行创新设计.现将本节课的教材分析、教学实践、教学反思等整理出来与大家分享，不当之处，敬请批评指正.

一、教材分析

1.教材内容分析

“不等式与不等式组”是人教版《义务教育教科书·数学》（七下）第九章的内容，包含不等式、一元一次不等式、一元一次不等式组三节内容.本章是学生学习了有理数、整式的加减、实数等“数与代数”的内容及一元一次方程、二元一次方程组等“方程与不等式”的内容后进一步学习的教学内容.等式与不等式、一次方程（组）与一元一次不等式（组）之间具有紧密联系.本章既是前面所学一元一次方程、二元一次方程组等知识的拓展，也是后继学习“一次函数”（八下）及高中必修课程预备知识“相等关系与不等关系”“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”等内容的必备知识和基础，具有承上启下的作用.

2.教法分析

单元教学在核心素养落地的过程中处于关键环节，单元复习教学要求教师整体把握教材，高屋建瓴地俯瞰学科知识体系，然后勾勒出一个个大主题，再相应地规划课时与知识内容，并有序开展学习活动，使教学变得更具系统性和关联性.方程（组）是研究相等关系的数学工具，不等式（组）是研究不等关系的数学工具.二者既有联系又有差异，尤其在知识结构上十分类似.教学时宜采用类比的方式，通过引导学生类比等式的基本性质，充分发挥正向迁移的作用，复习并掌握不等式的基本性质.在此基础上，类比解一元一次方程的思想方法，掌握一元一次不等式（组）的解法，并利用数轴表示其解集，发展几何直观.最后，引导学生根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题，体会不等式的模型思想，以及一次不等式、一元一次方程、二元一次方程之间的内在联系.

一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式等单个知识点对七年级的学生而言只是“见不到森林的单棵小树”，虽然学生对每个知识点都较为熟悉，对各自的概念、性质、应用都有所了解，但对它们之间的本质联系并不十分清楚.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：初中阶段知识相对具体，高中阶段数学知识相对抽象.教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡，包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面.德国著名数学家克莱因（FelixChristianKlein）曾强调，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视和理解数学问题.只有观点高了，事物才能显得明了而简单.基于此，笔者进行教学设计时，尝试用“高中观点”去解决“初中问题”，从方程、不等式等知识与函数的联系出发进行研究，以核心素养为统领，串联整合知识要点.在导入阶段预设一组形式上属于不同领域知识内容的练习，但它们的求解十分类似，通过引导学生梳理相关知识，建立知识与知识、知识与问题情境之间的关联，感悟代数式、方程（函数）及不等式之间的联系，帮助学生打通知识脉络，厘清其横、纵向联系，建立知识结构，从函数视角审视包括一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组在内的“一次问题”，进一步内化理解这些问题在本质上都是一致的，引导学生达到既能通过“树木”看到“森林”，又能依托“森林”俯瞰“树木”的境界，实现教学目标的低起点、高立意，以期衔接初、高中数学思想，发展学生的数学学科核心素养.

3.教学目标设计

从数学学科核心素养的培养来看，本章内容着重体现数学抽象和逻辑推理的培养，辅以对数学内部数学建模的关注.基于此，结合“三教”理念，确定本节课的教学目标为：

（1）创设问题情境，引导学生自主复习等式、不等式的基本性质，体会等式与不等式之间的联系，进一步掌握类比的方法，发展迁移能力.（教思考）

（2）引导学生在解决方程和不等式问题的过程中，渗透方程与函数思想，感悟转化与化归、数形结合等思想，提升学习能力.（教体验）

（3）根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，进一步体会模型思想，使学生能更普遍地说明数量关系，精确地表达数学问题.（教表达）

4.教学重、难点

教学重点：探究一次方程、一次不等式（组）之间的本质联系，从函数的视角审视“一次问题”.

教学难点：在解决方程和不等式问题中渗透方程与函数等数学思想.

二、教学过程

活动设计1：设计问题，创设情境

问题1：代数式2x-1是___次___项式.

问题2：当x=3时，代数式2x-1的值为___.

问题3：已知代数式2x-1的值等于5，则未知数x的值等于___.

问题4：若代数式2x-1的值大于5，则未知数x的取值范围是___.

追问1：对于问题3，你是如何求解的？

生1：根据题意得到方程2x-1=5，解得x=3.

追问2：你能说说解方程的依据是什么吗？

生1：等式的基本性质.

追问3：问题4呢？

生2：根据题意得到不等式2x-1＞5，解得x＞3.这里是根据不等式的基本性质求不等式的解集.

设计意图：通过提出与代数式、代数式求值、方程、不等式有关的学生熟悉的基本问题，也可以当作一个综合性操作任务，激发学生复习本单元的兴趣和积极性，再现“数—字母—代数式—方程—不等式”的知识发生、发展过程，既体现了数学内部的联系与和谐之美，也为引出后继即将研究的“函数”埋下伏笔.

活动设计2：类比联想，促进生成

师：等式与不等式之间有着广泛而深入的联系.通过类比之前学习的等式的内容、过程和方法，我们可以轻松搞定不等式.但是相似或相通的知识之间往往有一些差异，所以同学们一定要好好进行“对比”，要认真体会等式与不等式的共性和差异.

问题5：等式有哪些基本性质？不等式呢？

师生互动，教师引导学生填写表1.

练习1：解下列方程和不等式，并把不等式的解集表示在数轴上：

学生练习，教师巡视，投影展示学生成果.

表1 等式与不等式的基本性质对比

设计意图：类比等式的基本性质得到不等式的基本性质，既让学生体会到“类比”是发现数学结论的重要手段，也能体现“等”与“不等”的辩证统一.

问题6：解一元一次方程和解一元一次不等式的基本步骤一般有哪些？

教师提问，引导学生填写表2.

表2 解一元一次方程和一元一次不等式的基本步骤对比

问题7：在解不等式的几个步骤中，哪些步骤可能会涉及不等号方向的改变？

生3：步骤（1）和步骤（5）.

师：解不等式时，若涉及“去分母”和“系数化为1”，要注意不等号的方向是否改变.

设计意图：从学生已有的学习经验和活动经验出发，注重渗透哲学层面的数学思维方法——对比分析（发散思考）、综合（集中思考），让学生在等式与不等式的基本性质及解一元一次方程和一元一次不等式等数学探究活动中不断体验，逐步积累数学思维的经验，形成和发展学生的核心素养.

问题8：不等式的解集有几种表示形式？

生4：一种是用式子，即用最简形式的不等式；另一种是用数轴，即在数轴上画出范围线.

设计意图：不等式的解集的不同表征形式，其实就是用不同的语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，这有助于学生养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯，培养学生转换与结合不同表征形式的能力.

活动设计3：运用规律，解决问题

问题9：什么是一元一次不等式组的解集？什么是解不等式组？

生5：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程，叫作解不等式组.

练习2：解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：

练习3：用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空.请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？

师：你能说说这个问题中有什么相等关系和不等关系吗？

生6：这个问题中相等关系有：货物的总质量=汽车数×4+20.

生7：这个问题中不等关系有：

货物的总质量＜全部汽车载重量之和，

货物的总质量＞减少1辆后剩余汽车的载重量之和.

师生共同探讨，写出问题的解答过程：

解：设有x辆汽车，那么这批货物共有（4x+20）t.于是，可得：

解这个不等式组，得5＜x＜7.

因为x只能取整数，所以x=6，即有6辆汽车运这批货物.

问题10：说一说运用不等式（组）解决实际问题的基本过程.

师生共同总结利用不等式（组）解答实际问题的基本过程：①审题，设未知数；②找出不等关系；③列不等式（组）；④解不等式（组）；⑤检验，回答问题.

设计意图：引导学生在数学知识的应用过程中，通过师生互动、生生互动表述自己的思考，把数学问题的解决过程表达出来，既能用笔头表达，又能口头表达，在相互表达、交流中增强学习体验.从本质上说，就是让学生学会用数学的语言表达世界，注重数学建模和数据分析核心素养的培养.

活动设计4：反思总结，拓展延伸

问题11：我们知道，随着x取值的变化，代数式2x-1的值也会变化，如果用y表示它的值，就得到y=2x-1，这个式子大家有没有研究过？

生8：它就是我们之前学习的二元一次方程.

追问1：请同学们仔细观察方程2x-1=5与不等式2x-1＞5，它们与二元一次方程y=2x-1有什么内在的联系？把你的想法与伙伴们交流.

生9：当y=5时，方程y=2x-1就变成了一元一次方程2x-1=5，当y＞5时，方程y=2x-1就变成了一元一次不等式2x-1＞5.

（学生回答，教师板书）

师：生10的发现非常棒！原来，二元一次方程竟然“隐藏着”这么多的秘密，从它的身上，我们既能发现一元一次方程，又能发现一元一次不等式.事实上，这里的二元一次方程就是我们今后要研究的一次函数.在数学中，函数、方程、不等式是密不可分的“孪生三兄弟”，“你中有我，我中有你”，在解决相关问题时，往往可以利用它们之间的内在联系对问题进行转化求解.对此，我们可以总结为：

等和不等是一家，变换角度去考察.

函数方程不等式，一同携手走天涯.

设计意图：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律最基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用.用函数理解方程和不等式是数学的基本思想.虽然初一学生还没有学习函数的相关知识，但通过问题引领学生动态分析函数与代数式、方程、不等式之间的内在联系，并结合板书设计，引导学生从哲学的角度把新、旧知识统一起来，加强对函数、方程、不等式等知识的深度理解，使得学生的再认识不仅仅是在原来水平上的复习回顾，而是得到了系统的提升，有助于学生感悟数学内部的联系，领悟数学思想方法，发展数学认知及加工水平，提升思维能力.最后用一首诗对等式、不等式、函数、方程等内容进行描述，注重“以文育人”，使学生感受到数学文化的魅力，深刻体会“数学如同中国诗词一般美丽”，有助于提高课堂品质，提升学生的整体认识与人文素养.

活动设计5：交流收获，布置作业（略）

三、板书展示

课堂生成的板书如图1所示.

图1

四、教学思考

1.数学教学是由问题驱动的

“问题”是一切科学的灵魂，数学也不例外.从古希腊数学到三百年前的微积分，数学的产生、发展过程一直是伴随着自然科学的问题展开的.既然数学发展的过程是发现问题、分析问题、解决问题的过程，教师的任务就应该是通过合情推理，努力还原这个过程.所以，课堂教学应该是由问题驱动的.以问题为载体，有助于培养学生的阅读能力，培养学生分析问题、解决问题的能力和发现问题、提出问题的能力，进而培养学生的数学学科核心素养——数学建模和数学抽象，是数学复习教学更为重要的目标，如此立意能提升教学的品味.

在教学设计中应把握住两种逻辑，即教材的“知识逻辑”（教什么）和教学的“思维逻辑”（如何教）.指向数学学科核心素养的教学设计，就是既能微观聚焦于具体模块知识的价值与功能，又能围绕大概念，以全局大视野统整数学知识、观念与过程，实现课堂教学与学科素养发展的对接.因此，笔者一改传统复习课的流程——知识回顾、例题讲解、方法总结、习题训练等环节，而是围绕“函数”这个“大概念”，通过4个“简单”问题组成的问题串引入课题.首先，这些问题本身有一定的数学内涵，与课程的教学目标水乳交融，能切中教学目标；其次，注重知识的“生长点”与“延伸点”，把复习内容置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，为学生进一步学习新知搭建脚手架，促进学生数学思维的提升和学习经验的有效积累，丰富自身知识结构；最后，重视引导学生进行哲学层面的思考，通过问题引导学生探索二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，居高临下地帮助学生建构起知识框架.这样的教学始终让学生去发现、去尝试，教师在旁引导，最终让学生发掘教学内容的本质价值，实现从“掌握一种知识的数学”到“掌握学习数学知识的方法”的转变，发展了学科核心素养.

2.单元复习课要关注学生素养的提升

单元复习课如何体现新课程理念？改变学生的学习方式，提高复习效率，发展学生的学科素养，是教师教学中需要认真思考的问题.在明确本节内容教学目标和教学任务的前提下，笔者以学生的“学”为出发点，将评价与教师的教和学生的学有机地融为一体.首先，通过创设情境鼓励学生自主学习，让学生“举手不及，跃而可获”，经历“体验数学发现和创造的过程”；其次，循序渐进、有的放矢，通过几道例题引导学生逐步把本单元的知识点进行强化、系统化，在等式与不等式的对比中，在方程与不等式的联系中，重在教学生“怎样想”，而不仅仅教“怎样做”；再次，顺势而为，注重初、高中数学学习的衔接，在总结时回归引入问题，通过二元一次方程“诱导出”新的研究对象——函数，通过问题设计引导学生思考函数、方程、不等式之间的逻辑关系，感悟其中蕴含的数学思想方法、问题解决的策略，帮助学生将知识结构化，逐步形成良好的思维能力；最后，注重数学文化的渗透，以诗的形式对本节课复习内容进行总结，凸显数学之美，使学生领悟数学的独特魅力.

3.践行“三教”理念是培养数学学科核心素养的有效路径

2014年1月，贵州师范大学吕传汉教授提出在数学教学中教思考、教体验、教表达（简称“三教”）的教育理念.课堂教学中践行“三教”理念对培养学生数学素养、构建“智慧课堂”具有重要意义：把隐性的数学素养，通过创设问题情境，设置问题串，激发学生思考，在“教思考”的过程中将其显性化；通过学生体验和经历数学知识的发生、发展和形成过程，在“教体验”的过程中让学生在感受、体会、领悟和反思中又将其隐性化；引导学生在“说数学”中表达自己的见解、感受、思考和智慧，在“教表达”的过程中再次将其显性化.笔者在本节课的教学中，正确把握“三教”理念，以“代数式、方程、不等式与函数的联系”创设大主题情境，以“函数”观念为大观念，以“一元一次方程和一元一次不等式”为大活动过程，旨在培育学生的思辨能力，并在“做数学”“说数学”中积淀学生个性化经验，促进学生数学学科核心素养的形成.整个过程在“全局视野”的统领下，始终凝聚学生的学习和思考，有利于学生深度学习的发生和学科素养的发展，同时为学生打开更多通往未知世界的窗，其意义和价值远远超过单纯的知识传授或解题训练.