让作业从“产品”走向“作品”——数学作业改进的思考与实践

江苏南京师范大学附属小学 贲友林

在数学教学过程中，这样的现象屡见不鲜：课堂作业，练习什么题目，教师一般让学生打开数学教科书，完成练习第1、2、3题。下一次，接着完成第4、5、6题。家庭作业，教师今天布置的是完成练习册第20页，明天布置完成第21页，后天布置完成第22页。倘若教师不说，学生由昨天的作业内容也就能推测到今天的作业内容，根据今天的作业内容，又知道了明天的作业内容。

这样的作业，笔者把它称之为“傻瓜式操作”。对教师而言，“傻瓜式操作”表现为教师如上面所描述的那样布置学生完成练习。对学生而言，“傻瓜式操作”意味着亦步亦趋，完全听从教师的安排，埋头做题，从不“抬头看路”，更不会“仰望星空”，去思考自己需要做什么样的作业。

数学作业，为什么做,做什么,如何做？这些问题，需要我们回到原点思考并在实践中做出改进，从而改变“傻瓜式操作”的现实。

一、作业功能：不仅仅是巩固

谈到数学教学中的作业，无论是课堂作业，还是家庭作业，我们马上想到的是，通过练习，巩固所学知识，加深理解，提高熟练程度，形成技能技巧。教师设计练习，布置作业，应当有整体观，要表现对学生发展水平的整体规划，要体现对学生发展状态的清晰把握。以往的作业，更多地体现了对已学内容的巩固功能。笔者以为，练习与作业应当成为学生敞亮并展现各自想法的平台，给学生学习提供更大的空间。

如在三年级“认识分数”单元中，有“分数的大小比较”这一内容，笔者在学生学习“分数的大小比较”这节课前，设计了这样的作业：怎样比较的大小。即布置给学生一个问题，让学生写下自己的想法。这样的作业，有点像语文学科的命题作文。只不过，教师在这里是通过问题，让学生展开充分的数学思考，然后在纸上记录自己的想法。

下面是一名学生完成的作业：

在这样的作业中，学生以研究的方式展开对将学内容的探讨，更多的是展现自己的想法，解答自己的疑问。每个学生带着自己的想法走进课堂，课上，学生展开对各自想法的交流，在交流过程中学生丰富、完善、修正各自原先的想法。

以往的作业体现的是“瞻前”，以巩固为目的，最后的“成品”都在教师的预设中，呈现出来的是既具有唯一性也具有统一性的“产品”。而现在，兼顾了“顾后”，以“预想”为目的，学生完成的作业具有更大的差异性，带有学生的个人烙印，是更多展现学生带有研究意味的，有着丰富多彩想法的“作品”。

二、作业内容：学生也可以是“供题者”

课堂作业，家庭作业，教师提供练习题，学生遵照安排完成作业。这样的场景，我们太熟悉了。不过，这样的练习方式，教师统得过死、牵得过多，学生马首是瞻，渐渐地成了“圈养动物”，个性受到压抑，失去了自己“觅食”的能力。在教学中，我们更多的是把学生作为“受方”，其实，学生也可以是“供方”，可以参与题目的选择、改编、设计与安排。

1.学生选题

教学《圆锥的体积》时，在新课中的课堂作业环节，学生先把教科书中的习题浏览一遍，然后交流做哪些题目。有学生提出：书上“练一练”和练习四的第1题，不必做了，因为那是应用公式来算圆锥体的体积，除非你算错了。有学生提出：练习四的第2题、第3题要做。因为第2题巩固了等底等高圆锥与圆柱的体积之间的关系。第3题，题目不仅有体积问题，还有底面积问题，不能混淆。学生的想法有理有据。我们全班的课堂作业就不再完成“练一练”与练习四第1题，而是完成他们选择要做的第2、3题。由此可见，学生做什么样的题目，他们自己选择。

再如，在“圆柱的表面积和体积”练习课的前一天，笔者布置这样的作业：每位学生选择不少于两道与圆柱表面积、体积有关的题目，分析并解答。学生完成这样的作业，为了选两道题目，他们会浏览数学书、练习册以及各种教辅中的相关题目。他们知道，要选择那些容易出错的题目，那些看似很难、其实不难的题目，那些方法多样的题目，那些解法特别巧妙的题目，那些还可以变化、再改编的题目，那些一看感觉不会、对自己有挑战的题目。这样的题目，我学生习惯称之为“好题”。

2.学生改题

教学《找规律》时，教师组织学生思考、完成如下问题：灰兔、白兔按照“灰、白、白、灰、白、白……”排成一队，照这样排列，18只兔中有几只灰兔，几只白兔？如果是20只兔呢？

之后，教师组织学生将这道题改编，提出不同的问题并作为课堂作业完成解答。学生改编的问题有：①如果是100只兔呢？②100只兔子中，白兔比灰兔多多少只？③如果从右往左数，23只兔中有几只白兔，有几只灰兔？④照这样排列，第2011只兔后的第一只兔子是什么颜色？⑤如果白兔有14只，灰兔有几只？……

改编题目由学生自主完成，学生在充分独立思考的基础上，呈现了丰富多样的想法。学生不仅能改编，而且会改编，他们的想法远远超越了教师的预设。

3.学生编题

在学习过程中，可以让学生结合所学内容自己编题并解答。学生编题，自然会出现所编题目可能有缺陷，可能有漏洞，甚至是错误的状况。以往，我们不希望这样的“败笔”出现。事实上，学生所编题目中出现这些状况，恰恰反映了学生真实的思维水平，他们暴露的问题大部分正是教师需要关注的，需要组织学生研讨的，这些学生的“问题”，是真正的问题，是学生学习与发展的空间所在。

学生选题、学生改题、学生编题，练习过程的控制权，悄悄向学生转移，让学生参与题目的提供，让学生自主练习。这样的改变，对学生来说，第一，增加了练习过程的选择性，提高了学生参与学习活动的积极性。与以往教师出题学生练习相比，学生练习的内容改变了全班所练题目完全相同的格局，学生拥有了练习的自主权，练习的题目对自己而言，更具有针对性。学生在“供题”中练习，变被动等待为主动参与，从“待哺”到“觅食”，从“圈养”到“散养”，释放了学生学习的激情与能量。第二，丰富了练习的方式，提高了思维含量。当下，各种练习题类的教辅书品种繁多，鱼龙混杂，但我们也不能说，所有的题目都是粗制滥造，总有一些“好题”需要慧眼识别。作业的题目从何而来？学生可以从若干题目中挑选出来。我们要认识到的是，解答题目，是练习；选择题目，也是练习。因为在选择题目的时候，也在思考这道题目练习了什么，怎么分析，要注意什么。无疑，这些都是练习过程中不可或缺的思考。练，不一定都要动笔写出来。动脑想，是练习过程中更需要强化的。第三，在题目的呈现、交流过程中促进学生深度学习。课堂中组织学生分享各自选编的题目，学生是资源的创生者，也是资源的受益者。他们在各自题目进行比较、沟通、交流等互动活动中获得更大的发展空间。除了对这些题目如何解答这些常规式的分析，还可以组织学生就学生所选的“好题”做进一步分析：题目“好”在哪儿？各人提供的不同的题目，之间是否有联系？倘若学生提供的题目有“漏洞”，教师可以组织学生辨析，发现“漏洞”，并思考与交流如何“打补丁”。

当学生成为作业内容的“供题者”时，作业内容本身也就成为“作品”，教学过程增强了开放性，同时教学结果又更具有实效性。练习的题源与过程，从依靠教师一个人变为依靠全体学生，所有的学生都被发动起来创造性地开展自主性、研究性学习。我们要相信：一个班级学生群体的力量远远超过了教师一人的力量。教学，依靠了学生，发展了学生的能力。

三、作业过程：比“练”更重要的是“想”

数学学习中，概念性学习、技能性知识的学习、解决问题的学习是三种主要的形态。对于不同形态内容的练习，我们要注意不能简单地以“熟练”作为练习的追求。如关于技能性知识的练习，提高熟练程度是合理的、必须的。但对于解决问题的过程，让学生达到程序化甚至是自动化是有害的，其可能会导致一些定式效应，缩小甚至剥夺学生思考的空间，影响学生解决问题能力的发展。

学生的作业，需要充实的是思维的含量。也就是说，不要让作业成为一种简单的、机械的、重复性的操练，将作业单纯地作为“程序性训练”，而应当让学生在写作业时徜徉于数学思考中。学生不仅要“做”，更要“想”。因为“想”，题目本身以及分析解答、分享交流过程就充满了研究性。因为“想”，实现学生的作业从“产品”走向“作品”。教师要把握的是，思考的难度要控制在学生的最近发展区内，让学生跳一跳能摘到果子。

如在学习了“长方形、正方形的面积”之后，笔者在作业中设计了这样一道题目：在一张边长9厘米的正方形纸上剪去一个长3厘米、宽2厘米的长方形，剩下部分的面积与周长分别是多少？

学生在作业中呈现了他们各自的想法。在正方形纸中如何剪长方形，有的学生想到如图所示的一种剪法，有的学生想到两种剪法，有的学生想到三种剪法。有的学生还写下了自己的“发现”：在正方形的四个顶点处剪长方形，看起来不同，但与如下页图所示的第一幅图一样，也就是剩下部分的周长与面积是一样的。如何求剩下部分的周长，有的学生是把各段相加，有的是把剩下部分转化成长方形来求周长。求剩下部分的面积，有的学生是分割成几部分再相加，有的学生是用大正方形面积减去小长方形面积。有的学生发现剩下部分的周长不同，面积相等。有的学生发现求周长时可以“平移”线段，求面积时不可以“平移”线段。当然，有的学生错误的想法隐藏其中，如有的学生认为如图所示的第二幅图与第三幅图的剪法是一样的。

不同的学生，不同的想法，或是想法数量上的差异，或是解决问题方法上的差异，或是想法水平上的差异。但每个学生都有想法，作业成为展现学生想法的平台。在这样作业的基础上，教师组织学生在课堂中交流各自的想法。学生的发言相互补充、修正。交流、汇报的过程，是每一个学生获得新的认识、成长的过程。他们在深度参与的过程中，认识从朦胧走向清晰，从肤浅走向深刻，从片面走向全面。

数学作业中开放题的设计，具有研究的性质，要遵循“低入、多思、高出”的原则。所谓“低入”，指题目思考的起点低，所有学生都能投入思考；所谓“多思”，指题目本身具有较大的思维空间，不同的学生会有多样的思考；所谓“高出”，是指不同的学生通过思考都有相对于自己而言的高产出，都有较大的进益与收获。

数学开放题的研究性，追求的不是学生的想法有多么丰富，更重要的是关注每个学生是否投入了思考，是否在思考中有新的进步，并且在作业之后的交流过程中是否促进不同想法的比较、沟通与融合，每个学生在这一过程中优化各自原有的想法。也就是说，数学练习过程中不是仅仅追求想法的多样，而是追求想法的深入。

实践证明，数学作业的改进，对教师和学生而言，想说“爱你”，可以从“不容易”走向“容易”。让作业从“产品”走向“作品”，学生体验数学思考的酸甜苦辣咸，享受智力活动的振奋与愉悦；作业，不只是知识的巩固和能力的提高，更为学生的学习与发展服务。