解题后的“风景”

俞昕

高中数学教学的一个主要任务是解题教学，但是解题教学往往会存在这样一个怪圈：教师把这道题目讲清楚了，学生也听明白了，但是换一道题目，学生又碰到了困难，继而教师再一次彻彻底底地把题目讲清楚.这种情况似乎在周而复始的经历着，学生觉得数学太难学，教师也觉得数学太难教，感觉有些东西只可意会不可言传.教师如何把数学教透教深，学生如何把数学学清学顺，答案不仅仅在于整个解题过程之中，更在于解题后的“风景”.乔治·波利亚在《怎样解题》中指出解题的思维过程有：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾与反思，“回顾与反思”就是解题后的一道独特“风景”.

1 解读“风景”

解题教学中如果学生只知道大量做题，常常会感到解题是“来也匆匆，去也匆匆”，既不知道解法是如何发现的，也不知道该题目与其他概念、理论、方法和问题的广泛联系，更不清楚题目还会有怎样的发展，所以我们需要引导学生在解题后进行元认知反思、发散性拓展和关联性拓展.

1.1 解题后需要元认知反思

教师在指导学生解题后应当继续引导学生对自己提出许多有用的问题：“关键在哪里？主要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有察觉到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识，应该从什么角度去考虑？”解题中最重要的那部分回去再看一下完整的解答，回顾自己的解题过程和最后的解答形式.尤其需要深思题目的困难之处及决定性的观念，可以尝试去了解在解题思路受阻的时候是什么阻碍了思路，又是什么最后帮助自己从困境中解脱出来.

元认知反思是对解题活动的“再认识”，一方面回顾问题被解决过程中所涉及的有关知识、解题方法以及理解题意的过程，另一方面更要反思问题一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等.通过反思，可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学[1]”.通过元认知反思所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果以及得出这一结果的途径，可以巩固所学知识和发展解题能力.

1.2 解题后需要发散性拓展

解题后的反思不能只是就题论题、就题论法、就题论道，只囿于解答这个题目本身，局限于“检查答案是否正确”或记忆回顾所解答问题的过程，这样的反思就常常流于形式和低层次化，起不到培养创造性思维的目的.因此，需要提倡发散性拓展，这种拓展有利于发现数学问题及其解答的来龙去脉，有利于发现数学问题、方法和理论之间的广泛联系，有利于发现许多相关结果中的交汇点.仅就问题解决的一个周期而言，问题提出是问题解决的开始，而对数学家或好的问题解决者来说，一个问题的解决往往孕育着新问题的产生[2].

数学家总是积极地以已经得到解决的问题为基础不断提出新的问题，从而不断地达到新的更大的抽象高度，得到更一般性的结果.因而，提出问题→解决问题→提出较高层次的问题→解决较高层次的问题→提出更高层次的问题→…如此形成一个螺旋上升的“问题链”，而问题提出和解决是其中的一个结点，有时很难界定它们之间的包容关系.实践中，数学家们也从来不满足于澄清手边的问题，总是在取得了某些新知识以后，利用它去解释更新的知识，而且往往是更具重要意义的知识.

1.3 解题后需要关联性拓展

在某些看上去并无联系的数学问题之间是否隐藏着某种普遍性的理论？这些数学问题能否被纳入某个统一的数学结构？这就是更高层次的关联性拓展反思，它反映了数学的统一性.数学家往往就是这种关联性拓展反思的高手.虽然学生不是数学家，但是教师需要引导学生进行“数学家式”的关联性拓展反思.尤其是当学生在解决问题过程中碰到困惑或发生错误时，更是要考虑为什么会发生这样的错误？产生这些错误的原因是什么？这个问题的本质又是什么？这种反思可以作为帮助学生精心组织自己思维的方法以克服转化困难.

寻找不同数学知识之间的关联是数学家研究数学的重要途径，在数学解题过程中同样可以挖掘不同数学知识的关联性.从典型的问题出发去寻找共性，這样常常可以得到一些意想不到的结论，更为重要的是探索过程对培养学生的探究思维、创新意识以及学会数学家的思维方式是大有好处的.

3 赏析“风景”

从某种意义上说，数学解题只是数学学习中的一部分，而解题后的“风景”则更加迷人和具有吸引力，解题之后有大量的工作需要教师引导学生去做.正如波利亚指出：教师的首要职责之一是不能给学生下列印象：数学题相互之间几乎没有什么联系，与其它事物也根本毫无联系.我们要让学生养成一种良好的学习数学的习惯“反思”[4]：当回顾一个已经得到解决的题目时，自觉地反思这个问题的本质，考察这个题目与其它事物之间的相互联系.我们要让学生深刻地认识到：没有任何一个数学题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做.当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，继续观察，再四处看看，就能发现一堆蘑菇，因为它们总是成群生长.解题也是一样，通过解题后的各种反思，发现数学问题与问题之间、方法与方法之间、概念与概念之间、体系与体系之间的包含关系、相似关系、相联关系等，并进一步发现数学内部之间各种各样的有机网络结构，解题之后进行推广引申，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质、提高认识、居高临下、跳出题海、事半功倍.

参考文献

[1] 郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教学学报，2016，25（3）.

[2] 王光明.高效数学教学行为的特征[J].数学教育学报，2011，20（1）.

[3] 徐彦辉.数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出[J].数学教育学报，2015，24（1）.

[4] 梁栋，朱鸿玲.数学概念二次教学的实践与反思[J].数学教育学报，2015，24（2）.