计算、归类、抽象——质数和合数的教学

沈伟芳

（景德镇市浮梁县福港学校，江西 景德镇 333000）

质数和合数师由数的整除所产生的。它的实质是某一个自然数能背哪些数整除的问题。所以必须通过整除的计算。观察一组数的约数的个数，加以分类，然后抽象出质数和合数的概念，学生才能领会它们的实质，并获得判别质数、合数的依据和方法，不会盲目猜测。

我在教学时县复习倍数和约数的概念，让学生写出10和12的全部约数，使学生注意到不同的数，它们的约数是有多有少的，点明今天我们专门来研究自然数约数多少的问题，然后要求写出下列数的约数，并进行分类，指出哪是质数，哪是合数。

1 2 7 13 8 9 18

然后进行观察，约数最少的有几个？其次是几个约数？这数是不是在所有自然数中算是约数最多的？使学生领会到最大的自然数是找不到的，因此一个自然数约数最多的有无数个。这样不便分类，假如以两个约数作为分类的分界线，可以分成几类？学生会说：“可以分成约数是2个、少于2个和多于2个的三类。”我就要求学生在分类中分别写上：1个、2个、2个以上。然后再观察；有两个约数的，这些约数有什么共同点？（约数都是一和这个数本身）再想：为什么有些数的约数会多于2个？（因为除了1和它本身外，还有其它约数）在此基础上抽象出“质数”和“合数”的概念，然后又问：“那么只有一个约数的数属于什么呢？”学生异口同声回答：“它不是质数，也不是合数。”这样的数在自然数中共有几个呢？学生想了片刻，说：“只有1。因为大于1的数至少有1和它本身两个约数。”“那么我们怎样判断一个数是质数还是合数呢？”（看除了1和它本身外还有没有其它约数）。随即把下面六个数：2 17 21 29 35 44让学生判断，学生的判断准确无误。上述六个数刚好3个是质数，3个是合数，为了让学生不致产生质数和合数一样多的错觉，与奇、偶数个数相等混同，我要求学生想一想自己的座号是质数还是合数（全班共45人），然后请质数座号的站起来，叫大家看看有几个（14个），让坐下后叫合数座号的站起来（共31人）。让坐下后叫不是质数也不是合数的站起来，大家清楚地看到只有一个。我问：“这说明什么？”“合数多于质数，不是质数也不是合数的是唯一的。”这给学生留下了十分深刻的印象。

接着我告诉学生当一个数大了，要判断它是不是质数很麻烦，我们可以把在一定范围内的数中所有的质数列成表，查看质数表就方便多了，然后让学生把100以内的质数表读一遍，数一数个数，看一看特点，让学生明白：除了2以外，其余的质数都是奇数。

然后告诉学生，可以用筛选法制作质数表，随即让学生做：在2到50的数中，留下质数2、3、5、7，划去2、3、5、7的倍数，把留下的数与前面的质数表核对，证明全是质数由此让学生思考：为什么只需划去10以内质数的倍数，而不需划去11、13、17的倍数，就能划去所有的质数呢？经过讨论后学生就明白了，10以外质数的2倍，也是2的倍数，故它们的3、4、5、6……倍，都包含在2、3、5、7的倍数中了，所以只需划去10以内的质数的倍数，就可以把所有的合数划去了。

最后让学生做一组补充习题：写出哪几个质数相乘的合数15、21和30？把算式写出来，为下一堂课教学“分解质因数”作好铺垫。并且还要求学生课外思考：有没有质数相乘的积也是质数的情况？为什么？以了解质数和合数之间的关系，从而使学生达到对概念的理解和准确判断的思维能力以及计算能力的效果。