“相约”平面直角坐标系

2019-08-21江苏省宜兴市官林中学李俊峰

中学数学杂志 2019年15期

☉江苏省宜兴市官林中学李俊峰

☉江苏省宜兴市官林中学蒋敏

数学世界浩瀚如海，代数几何变幻无穷，解析几何架起桥梁，数形结合化险为夷.在每一道数学问题的内部都存在着一定的条件和关系，要想对其攻克，应观察其具体特征，认真分析、思考、探究，在细致、透彻、深入的透视中，把握问题的内涵与本质，从而确定解题思路，找到解题方法，欲知故事如何发生，让我们“相约”平面直角坐标系.

一、攻克平面几何证明题

平面几何证明一向是个难点，难就难在辅助线的添加，而解析几何的“加入”，能让我们免去添加辅助线的烦恼，有例为证！

例1如图1所示，在▱ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AF交BD于G，H.求证：H，G三等分BD.

图1

分析：建立平面直角坐标系，

证明：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，设B（b，0），D（a，c），则C（a+b，c）.

图2

连接AC交BD于点M，可知G、H分别为 △ABC及△ACD的重心，由此可得在第一象限内画出图形，写出直线BD、AE、AF的方程，最后，求出直线AE、AF与BD的交点坐标，不难发现，这涉及比较麻烦的运算过程.基于此，能否探寻一条路径来简化运算呢？已知E，F都是中点，通过中点联想并运用与之相关的几何性质，我们就可以开辟出一条新的解题路径.

由两点间的距离公式可得：

即H、G三等分BD.

评注：欲证线段三等分，即证三线段相等.几何问题代数化，建立平面坐标系.重心坐标来联系，算出长度看关系.距离公式显神奇，算得长度都一致.

二、巧求函数的最值

有关函数的最值问题或许我们会觉得不难，可遇到两个根号里含有自变量的函数时，往往叫人“情以何堪”，这时，解析几何就帮了我们大忙！

例2求函数的最值.

分析：函数表达式是点到直线的距离公式的一部分，于是考虑利用坐标法来解本题.

解：将原函数改造为，将其中理解为动点到直线x-y+2=0的距离即可.不难得出动点的轨迹为单位圆的上半部分，如图3所示，原函数的最小值即为原点到直线x-y+2=0的距离与单位圆的半径之差的倍，即，而最大值为点（1，0）到直线x-y+2=0的距离的倍，即

图3

评注：函数值域有点难，含有根号难上难.外面还有绝对值，叫人看了直犯难.抓住特征巧变换，挖出“庐山真面目”.距离公式来相助，世上“一物降一物”.

三、妙证根式不等式

说到不等式的证明，给人的感觉就是“有点难”，采用代数推理的方法来证明或许会叫人“寸步难行”，而联想到有关代数式的几何意义，却能使人“豁然开朗”.

例3已知a，b，c，d都是实数，求证

分析：仔细观察此题的外在形式，可以得出要证的结论式的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式.

证明：不妨设A（a，b），B（c，d），如图4所示，

图4

在△OAB中，由三角形三边之间的关系可知：

|OA|+|OB|≥|AB|，当且仅当O在线段AB上时，等号成立.因此

评注：三个根式来“结义”，三个“距离”显本质.一张图形现眼前，一目了然明道理.三角形与不等式，原来它们有关系！有了关系好证题，披荆斩棘夺胜利！

四、征服实际应用题

考查数学知识的实际应用能力是数学高考永恒的主旋律.当我们在面对实际问题时，如果能想到建立解析几何模型来求解，那么或许我们已经打开了一扇通向成功的大门.

例4路灯杆底座和一房子的楼梯口相距14m，路灯杆与房子正中间有一个半径为3m的半球形建筑物.问：路灯应装多高才能照到房子的楼梯口？

分析：路灯杆太矮则不能照亮楼梯口，太高会造成浪费，其高度只要能照亮楼梯口就行.此题求解的关键在于建立合适的坐标系.以过路灯杆底座A和楼梯口Q两点的直线为x轴，以线段AQ的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，并以O为圆心，3为半径画圆，然后过楼梯口Q作圆的切线，过路灯杆底座A作x轴的垂线并交切线于点P，则线段AP就是路灯杆的最小高度.

图5

解：如图5所示，取半球的球心为坐标原点，路灯杆底座A和楼梯口Q所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则半球形建筑物的横截面半圆的方程为x2+y2=9，y≥0，过楼梯口Q作圆O的切线l，切点为B，路灯P（-7，h），楼梯口Q（7，0），切线l：y=k（x-7），即kx-y-7k=0，这里k＜0.圆心O到切线l的距离，解得k2=.故得切线l的方程为.为了使路灯能照到楼梯口Q，路灯P（-7，h）不能位于直线l的下方，即要求即路灯的最低高度为m时才能照亮房子的楼梯口.

评注：直线与圆的方程，堪称解析几何之基本.放眼火热的生活，解析几何模型处处有.灯杆貌似一线段，半球截面是半圆.它们相约坐标系，精彩故事来演绎.