培养学生数学合情推理意识的实践思考

☉江苏省常熟市王淦昌中学 尹瑰雯

合情推理是人们凭借已有的知识经验所作出的合乎情理的认知过程，这是运用观察、实验、归纳、类比、联想、直觉等思维形式在某种情境与过程中所进行的合理推断.《新课程标准》明确提出了促进学生了解合情推理的含义，以及帮助学生学会简单推理的具体要求，因此，教师在实际教学中应能借助已有的数学实例和生活实例来帮助学生认识并体会合情推理的作用，使学生能够学会简单的推理.

一、教学过程中的合情推理

教师在教学中应能及时地发现数学的发展过程并引导学生进行猜想与合情推理，简单来说，就是猜想与合情推理在数学发展与学习过程中应该占据一席之地.因此，教师在实际教学中应首先帮助学生树立积极的合情推理的意识，引导学生在概念、定理、结论、公式的生成学习中逐步展开有意识的猜想与推理，使学生拥有足够的推测和猜想的空间并经历合情推理、演绎推理，使学生将形象思维、直觉思维、逻辑思维积极地调动起来并由此促进学习的进一步生成.

案例1多项式函数的奇偶性——归纳探究

问题1：请对以下函数的奇偶性进行判断：

问题2：已知f（x）=kx+b是一次函数，则其在什么情况下为奇函数呢？

二次函数f（x）=ax2+bx+c在什么情况下为偶函数呢？

猜想：一元n次函数f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn在什么情况下为奇函数呢？在什么情况下为偶函数呢？是否可以分别进行证明？引导学生在一元三次、一元四次函数的试验与探究中获得以下结论：

当a1=a3=a5=…=0时，f（x）为偶函数；当a0=a2=a4=…=0时，f（x）为奇函数.

案例2球的表面积公式——类比推导

问题1：已知某旋转体模型的高与底面半径相等，请观察并尝试猜想：

问题2：大家还记得我们之前是怎样进行推导得出圆的面积公式的呢？

学生很快发现精确度因为所分份数的不断增加而提高，圆的面积公式在份数无穷大时便能顺利得出，学生在经历分割、求近似和、化准确和的学习过程中顺利地获得了圆的面积公式.教师可以在学生的这一学习经验上引导其对球的表面积公式进行探究.

教师在上述案例中都没有直接给出结论，而是引导学生对知识的发生、发展进行了探究，师生之间的互动、交流、讨论和推理或许不够完善和严密，但学生在发现问题、选择推理方法、归纳总结结论的合情推理中却获得了理性思维的锻炼与发展.

二、培养学生的合情推理意识

1.激发合情推理意识

数学合情推理的进行需要数学直觉的支撑.因此，教师应保障学生直觉推理的时空并对学生进行积极的引导，使学生能够在数学问题的结构、数据、图形等方面的特征与信息上进行观察与分析，从而刺激学生的直觉思维并提出合理的猜想.

案例3已知数列{an}中，则通项公式an=______.

该习题是“数列的概念与表示方法”第一课时中的一个题目，很多学生在怎样从递推公式入手及变形获得通项公式时遇到了障碍，但实际上，如果设n=1，2，3，4，则有最终引导学生在直觉思维的支撑下，归纳出{an}的通项公式为

2.形成合情推理意识

对于教师的解题技巧与速度，很多学生都会表现出惊讶与佩服，但同时他们也会心存疑问：老师是怎么想到的呢？解决学生的这一疑问无疑是相当重要的，因此，教师应将解题方法进行具体的介绍，引导学生学会思考，并因此促进学生合情推理意识的逐渐形成.

案例4设，求（3-v）］2的最小值.

从代数角度来解决此题往往会令学生一筹莫展，但若是能够对f（u，v）的形式进行仔细地观察，从其与距离公式的平方的相似上入手，即可将问题转化为求动点P（u，与Q（v，3-v）之间距离的最小值又是半圆x2+y2=2（y≥0）上的动点，Q（v，3-v）为直线x+y=3上的动点，过圆心作直线l的垂线并得出f（u，v）min=

每个解题者在解题时都会努力地寻找一种相似，这一过程需要“结构联想”的支撑才能实现解题上的突破，因此，教师在实际教学中应帮助学生学会进行“结构联想”，并实现知识向能力的顺利转化.

3.培养合情推理意识

变式训练主要是在已有材料的变更上作出的以点带面的练习，有效的变式训练能够帮助学生完善知识体系并实现信息和方法的迁移，变式训练也是培养学生合情推理意识的极为重要的载体与途径.

案例5设点A和点B的坐标分别是（-5，0）和（5，0），直线AM和BM相交于点M，两直线的斜率之积为

变式2：设点A和点B的坐标分别是和，直线AM和BM相交于点M，两直线的斜率之则点M的轨迹方程如何？

变式1：设点A和点B的坐标分别是（-5，0）和（5，0），直线AM和BM相交于点M，两直线的斜率之积为k，则点M的轨迹方程如何？积为k，则点M的轨迹方程如何？

变式3：设点A和点B的坐标分别是（-a，0）和（a，0）（a＞0），直线AM和BM相交于点M，两直线的斜率之积为k，则点M的轨迹方程如何？

引导学生在反思过程中进行命题的变式是尤为必要的，这能使学生在探索中体验到数学合情推理的优势，并因此获得合情推理意识的进一步发展.

4.强化合情推理意识

波利亚在如何解题上有其独到的见解，他特别关注在解题或证明问题时发现简单的类比题，类比题的发现可以引导解题者顺利解决原问题是他一直持有的观点.根据不同对象的特性、属性、关系等方面的相同或相似之处进行其他方面的推理，这种推导其他可能相同或相似的思维形式的过程即为类比推理.直线和平面、平面和空间、圆和圆锥曲线的性质、数和形等方面的类比是高考题中经常出现的问题.

案例6平面几何中的勾股定理如下：设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.将其拓展到空间，研究三棱锥的侧面面积和底面面积之间的关系时也可将其进行类比，运用平面几何的勾股定理进行类比可得以下正确结论：设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则______.

相比而言，平面几何问题的思考属于低级思维的范畴，空间几何问题的思考则属于高级思维的领域.事实上，确实有很多有关三角形的结论在三棱锥问题中可以进行类比，比如直角三角形中的勾股定理在三棱锥三侧面两两垂直问题中的类比，则有.不仅如此，勾股定理的证明方法也同样可以在此处进行类比，那么结论的得出也就不是难事了.

教师在学生进行练习时应该引导学生养成预估解题思路能解性的习惯，不管是否能够见到答案都应该保留这样的意识与行为，这是培养学生良好的“猜想”习惯所必须具备的.这种预估解题能解性的习惯性思考不仅能够帮助学生优化思维并因此提升解题的准确度，而且在其他问题的思考上也因此获得了更加充裕的时间.不仅如此，教师在具体教学中对学生观察能力、分析类比技巧、大胆猜想意识的培养和锻炼正是发展学生合情推理能力的必须途径，是激发学生学习热情、提升学生解题能力的必经手段.当然，学生的数学能力与自身发展的不同水平也会令其在实际学习中有不同的表现，运用合情推理发现问题、解决问题也并不是都能令教师满意，或者能够完全正确地运用，合情推理运用遭遇障碍也会时有发生.因此，教师在日常教学中应对学生的认知规律进行了解和掌握，根据学生的实际情况对学生的数学推理能力的提升进行训练，关注学生的合情推理能力在各阶段的发展水平，不断鼓励学生在学习中积极尝试，引导学生不断反思并在尝试、反思、修正、提升中获得数学合情推理能力的不断发展.