数列中那些常见的“错”
2019-08-05厦门大学附属实验中学363123
厦门大学附属实验中学 (363123)
林秋林
数列是高中数学中的一个重点内容，它是函数概念的继续和延伸．在数列的学习中，学生们往往容易因为忽视细节或者对数列中的某些概念和公式的理解不透彻，对公式、性质应用不熟练，从而得到一些错误的判断，使得思维进入一个个误区．以下笔者对数列中的几个易错点加以剖析，希望能使学生从纠错中得到进一步的提升．
错误一 忽略了n为正整数．
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
误区诊断：上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数．
错误二 把数列当成一般函数研究，忽略了数列本身的特殊性．
例2 若an=n2+λn，且数列{an}为递增数列，求实数λ的取值范围．
误区诊断：数列可以看作是一个定义在正整数集N*(或有限子集{1,2,3,……,n})上的函数.由于定义域不是连续的，所以数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的孤立点集{(n,an)|n=1,2,3,…}．
正解：利用递增数列的定义，由an
错误三 忽略了递推公式中n的取值范围．
例3 (第27届“希望杯”高一2试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
错解一：(1)由an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-1．
误区诊断：错解(1)中忽略了an=Sn-Sn-1是在n≥2时才成立，这个数列从第二项开始的各项构成一个等差数列，实际上这个数列{an}的首项a1=0破坏了这一规律．
误区诊断：(2)中忽略了an-an-1=2在n≥3时才成立，因为没注意到这一细节，从而产生错误．
错误四 忽视题中的隐含条件．
误区诊断：题中“从第10项起开始大于1”中的“开始”两字说明a9≤1，要注意挖掘题中的隐含条件．
错误五 对公式结构理解错误．
误区诊断：对等差数列前n项和的结构理解错误.由等差数列前n项和公式可得其结构为An2+Bn形式，其中A、B为常数.
错误六 忽略公比为“-1”的情况．
例6 (第23届“希望杯”高一2试)设{an}是公比不为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和．给出下面3个命题：
(2){an}不可能同时具有最大值和最小值；
(3)S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,…构成等比数列.
其中真命题的个数是( )．
A．0B．1C．2D．3
误区诊断：若{an}为q=-1的等比数列，若m为偶数，则Sm=0，此时Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…不能构成等比数列．
正解：令an=(-1)n(n∈N*)可知(2)错误，此时有S10=S20-S10=…=0，从而(3)也错误，选A．
错误七 忽略公比为“1”的情况．
2017年夏，我们在庐山认识了李汝庆先生。他的祖父李祥卿，曾参与庐山别墅群的修建，他家的“李广记营造厂”比宋子文岳父的“张兴记”还要早得多。20世纪60年代，李汝庆先生还与赫赫有名的王震将军结下不解之缘。已经88岁高龄的李汝庆先生，头脑清醒，思路清晰，记忆力也很好。他告诉我们，他已连续8年从广州来到庐山度夏。在庐山，他领我们去寻访祖父当年留下的遗迹，看合面街他家的旧址，指点“李广记营造厂”当年建造的别墅。在他租住的屋内，李老连续数日讲述了李氏家族起伏跌宕的历史和他奇特的人生际遇。
例7 (人教必修4课本习题)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证a2,a8,a5成等差数列．
误区诊断：当q=1和q≠1时，等比数列的前n项和公式不同，应分开讨论.
错误八 通项与末项没分清楚，导致项数搞错．
例8 求和：2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*)．
误区诊断：利用数列的求和公式,关键是确定它的项数．这里错把23n+10当成通项，从而导致错误．事实上，23n+10是数列的第(n+4)项，应该是求其前(n+4)的和才对．
错误九 类比问题中不知其所以然．
例9 对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1=0，s,t是互不相等的正整数，则有(s-1)at=(t-1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题：．
错解：若{bn}是等比数列，b1=0，s,t是互不相等的正整数，则有(s-1)bt=(t-1)bs.
由于高中的数列问题与高等数学的部分知识有着紧密的衔接关系，故数列向来深受高中命题者的喜爱．小到平时的月考，大到高考，都有部分命题者精心设计的数列题得分率不高，原因就在于一些题目中被设置了如同上述的误区，使得不少学生在不知不觉中就“中招”了．本文主要以部分常见的数列题型为例点出常见“错误”的所在，旨在能使学生就此避开这些“错”，进而在数列题上不失分．
