例谈图像法求解函数零点问题的方法探析*

福建省南平市高级中学 (353000) 应丽珍福建省南平市第一中学 (353000)

江智如 张文玫

1.问题呈现

2018年福建泉州5月质检理科数学卷中有一道关于方程实数解的试题引起笔者的注意：

A．4个B．7个C．10个D．12个

本题以函数零点与方程根为知识载体，考查复合函数的零点问题．以初等函数的图像为依托，考查考生数学阅读、数形结合思想、空间想象能力和运算求解能力．在教学实践过程中，笔者发现这一类零点问题，高中学生学习的情况不甚理想，失分率颇高．因此，探究有效的解题之策成为零点教学的当务之急．由于形数本是同根生，所以借助图像法能有效地解决这类问题．为此，本文从培养学生空间想象能力的角度出发，探析利用图像法来求解函数零点问题的有效方法．

2.方法探析

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“结合学过的函数图像，了解函数零点与方程解的关系”[1]，在教学过程中，教师应“帮助学生学会用函数图像和代数运算的方法研究基本初等函数的性质”[1]．基于此思想，笔者引导学生从已知条件入手，理解题设信息，通过“寻找根源，分离参数，运算求解，函数变换，化归解决”五个步骤探究解题方法，提高学生数学阅读、逻辑推理、运算求解、空间想象的数学能力，帮助学生顺利解决零点问题．

①寻找根源：通过题设条件，寻找相关函数模型，根据已学知识分析问题；

②分离参数：分离参数，把问题转化为函数相交问题，减少复杂程度；

③运算求解：通过运算，求解函数的定义域、奇偶性、单调性、值域等性质，确定函数的范围；

④函数变换：利用函数变换，如：平移、旋转、反射等，确定函数的形状与位置；

⑤化归解决：根据已有信息，画出所求函数的图像，利用化归与转化的思想，解决相关零点问题．

以下笔者通过问题1，具体展示五个步骤解题的思路与方法：

①本小题中的相关函数模型为一元二次函数，指数函数；

③通过运算，可知g(x)非奇非偶函数，在

(-∞,-2),(-1,0)上单调递减，在(-2,-1),(0,+∞)上单调递增，值域为[-1,+∞)；

④利用g(x)图像的平移，确立函数f(x)的形状与位置；

⑤根据参数a的取值变化，得到f(x)的图像如图1所示．

因为f[f(x)]=0，所以令t=f(x)，则f(t)=0，从而问题转化为函数y=t与y=f(x)的交点个数．由于本题所求为最多实数解，故当a<-4时，如图2所示，函数y=t与y=f(x)的交点个数最多为12个．因此选D.

图1 图2

在具体的应用过程中，以上过程可归纳为“化简—消参—变换—作图”，把函数零点问题转化为函数值域与相交问题[2]，从而借助图像直观快速地解决，体现“言简意赅，登高望远，意味深长”[4]的处理方式．

3.高考链接

在日常的学习过程中，考生应结合初等函数的图像，“了解函数的零点与方程根的联系”[3]，判断函数零点的存在与个数．纵观近几年全国高考课标卷，以函数零点知识为载体的试题，出现的频率颇高，而利用图像法能快速有效地求解，很好地考查了考生函数与方程、数形结合和空间想象的思想与能力，同时也体现试卷的区分与选拔功能．

A．[-1,0)B．[0,+∞)

C．[-1,+∞)D．[1,+∞)

图3

评价:本题依托函数的零点知识，考查考生的化归与转化的思想，逻辑推理和运算求解能力．题设给出由指数函数、对数函数组成的复杂的分段函数．需要考生运用化归和数形结合的思想，利用分离参数法，把问题转化为函数的交点个数问题，考查了考生对有关初等函数基本知识的掌握程度，又考查了考生综合应用基本方法解决问题的能力．难度适中，对增强考生的信心能起到积极的作用．

图4

分析:由y=Acos(ωx+φ)的图像，可以作出f(x)的图像，如图4所示，得到f(x)在[0,π]的零点个数为3．

评价:本题依托三角函数的图像与性质、函数的零点知识，考查考生空间想象和运算求解能力．考生只需运用数形结合的思想，利用余弦函数的图像，便可顺利、准确地完成求解．

4.例题解惑

例3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0，且f(x)=

A．(-2,-1)B．(-1,1)

C．(1,2)D．(2,3)

分析:问题转化为f(x)=t有5个不同的零点．如图5所示，可作出f(x)的图像，由图像的对称性，可得x1+x2=-6,x4+x5=6，所以x1+x2+x3+x4+x5=x3∈(-1,1)，故选B．

图5

评价:本题依托对数函数、二次函数图像与性质的知识，考查考生化归与转化的思想，运算求解能力．考查考生运用数形结合的思想进行求解，提升考生直观想象、数学运算的数学素养．

例4 偶函数f(x)和奇函数g(x)的图像如图6所示，若关于x的方程f[g(x)]=1,g[f(x)]=2的实根个数分别为m,n，则m+n=( ).

A．16B．14C．12D．10

图6

分析:令t=g(x)，则f(t)=1，由f(x)的图像可知，t=±1，再由g(x)的图像知t=g(x)有6个解，即m=6；同理，可设u=f(x)，则g(u)=2，由g(x)的图像知，u1=1,u2∈(-1,0)，再由f(x)的图像知u=f(x)有4个解，即n=4，所以m+n=10，故选D．

评价:本题依托抽象函数的奇偶性质、复合函数零点的知识，考查考生数形结合思想、空间想象与逻辑推理能力．考生利用换元法，结合函数图像可顺利求解，促进考生直观想象素养的提升．

5.教学建议

利用图像探究函数零点问题的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用．求解此类问题的关键：(1)会转化，先把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数图像的交点问题；(2)会借形解题，即作出两函数的图像，数形结合可快速找到参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的取值范围．在实际的教学过程中，教师引导学生理解和掌握初等函数的图像性质，使学生通过数学阅读能准确理解所述问题的含义，把图像的直观与严密的运算巧妙结合，把函数思想方法、数形结合的思想蕴涵在解决问题的过程中[3]，从而实现“培养学生的化归与转化、数形结合的思想，提升空间想象能力，促进学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养的形成与提高”的教学目的．