对一道模考题的研究和教学启示

安徽省合肥市第一中学 (230601)

谷留明

1.问题提出

2.解法赏析

评注：这是参考答案的方法,巧妙却略显“生硬”,“转化为探究OM、ON垂直”这一思路看起来有些突兀，需要考生画图比较准确.对直角三角形的射影定理理解透彻并能联想起来；或者在切线斜率不存在的情况中得到结果为2时,猜想到：若结果为定值,则为2,并联想到2=|OP|2，从而若OM⊥ON,则|PM|·|PN|=|OP|2=2,为定值.考后统计了全市12233份有效理科答卷,这两小问的平均分、难度、区分度分别为：3.51分,0.701,0.66与1分,0.143,0.38.说明学生对第(2)问所涉及知识、方法掌握得很薄弱,有必要进行深入研究.

评注：此法思维上简单自然,过程上直译直叙,学生易着手,但很考验学生的计算能力.

评注：根据图像特点和所要探求的|PM|·|PN|,很容易联想起直线的标准参数方程中参数的几何意义,想到|PM|·|PN|=|t1t2|.此法思路简洁又比较自然,计算量适中.

3.变式研究

(1)若圆O的半径r=1,其它条件不变,则

|PM|·|PN|是否为定值?

4.题根探源

结合以上探究,发现文[1]中性质定理的逆定理也成立.经进一步研究,在圆与部分双曲线中也有类似结论,从而有以下更一般的定理:

结合直角三角形的相关性质,还有以下推论：

5.新题命制

6.教学启示

(1)立足教材 把握高考

这道模考题的题根就在课本上,重视课本习题潜在功能的挖掘和利用,不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例题、习题、复习参考题之间的联系和变换.因为考点在书中,但试题在书外,源于课本又高于课本.因此要顺利解答此类题目，必须在掌握课本方法的基础上向外拓展,进行深挖,在教学和复习时不可脱离课本,坚持“以本为纲”,数学教学中,要夯实基础,不要一味的追求解题的难度,以不变应万变.

(2)变式探究 提炼思想和方法

在日常的教学中,需要老师能静下心来,对教材认真研读,深度挖掘,不盲目跟风.课本是试题之源,只要我们能反复研究,在平时的教学中注重变式训练,不仅可以提高学生的数学解题能力,而且通过变式来透过现象看清本质,一举切中要害.更重要要的是还可以让学生从书山题海中解放出来.因此应充分认识例题、习题本身蕴含的价值,掌握其中的通性通法,只有平时教学重视思想的渗透,才能让学生在高考选拔中脱颖而出.