2014年高考福建卷文科第12题的源与流

福建省龙岩市长汀县第二中学 (366300)

邱有文

2014年高考福建卷文科第12题是一道以新定义题型的创新题.该题以椭圆的定义为载体，探究在新情境下“椭圆”生成的基本步骤和图形特征，重现“轨迹”的基本研究方法，注重考查了考生抽象概括能力、对数学概念的理解、数学思想方法的掌握、探索与创新的水平以及应用数学解决实际问题的能力等.

1.试题展示

(2014年高考福建卷文科第12题)在平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为‖P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于‖F1F2|)的点的轨迹可以是( ).

2.试题解答

解析:根据题意,不妨设F1(-1,0)，F2(1,0)，由“L-距离”定义可得|x+1|+|y|+|x-1|+

|y|=2a，且2a>|F1F2|，即a>1.

当x≥1,y≥0时，x+y=a；当x≥1,y<0时，x-y=a；当-1

-1

由上述六种情况的讨论，可以作出点P的轨迹为六边形，即选A.

3.试题题源

题源1(2010年高考广东卷第21题)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|，对于平面xOy上给定的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2).

(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B)；

(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足

①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B).若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.(解答参考2010年广东高考试题)

题源2 (某地市高三月考试题)在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题:

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；

④到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.

其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)

至此，2014年福建省高考文科第12题源头就浮出了水面.

4.试题变式

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“L-距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.

①已知B(1,0)，直线x-y+2=0上的动点M，则d(B,M)的最小值为;

③已知点A(1,3)，B(3,6)，M(x,y)，且x∈[0,6],y∈[0,9]，若d(A,M)=d(B,M),则M的轨迹的长度为.

5.试题推广

对上述试题的变式可以进行推广：

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“L-距离”为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|，则有下面结论：

对于上述结论1、结论2、结论3的证明略.