关于Neuman-Sándor平均的一些特殊组合不等式

徐仁旭，徐会作，钱伟茂

（1.浙江建设职业技术学院人文与信息系，浙江杭州311231；2.温州广播电视大学教师教学发展中心，浙江温州325000；3.湖州广播电视大学远程教育学院，浙江湖州313000）

0 引 言

设p∈R,a,b＞0,则Neuman-Sándor平均NS(a,b)[1],调和平均H(a,b),几何平均G(a,b)，算术平均A(a,b),二次平均Q(a,b)和p阶幂平均Mp(a,b)可分别定义为

对所有不同的正实数a和b成立。

近年来，Neuman-Sándor平均 NS(a,b)和其他二元平均的比较得到了深入研究，涉及的重要不等式可参见文献[2-30]。

NEUMAN等[1]证明了不等式

对所有不同的正实数a和b均成立。

2012年，YANG[31]建立了不等式

对所有不同的正实数a和b成立，其中

文献[32-33]证明了双向不等式

对所有不同的正实数a和b成立当且仅当

本文的主要结果是给出以下几个最佳参数α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈ (0,1)使得下列双向不等式：

对所有不同的正实数a和b均成立。

1 引 理

为了证明主要结果，需引入以下相关引理。

引理1[34-35]设函数在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g′(x)≠ 0。若f′(x)/g′(x)在(a,b)单调递增（递减），则函数[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]和[f(x)-f(b)]/[g(x)-g(b)]也在(a,b)单调递增（递减）。若f′(x)/g′(x)是严格单调的，则上述结论的单调性也是严格的。

引理2[36-37]设实幂级数和在 (-r,r)(r＞0)上 收 敛 ，且an,bn＞0对所有的n成立。 若序列{an/bn}严格单调递增（递减），则函数x↦A(x)/B(x)在(0,r)严格单调递增（递减）。

引理3函数在区间严格单调递减，且值域为

证明设f1(x)=sinh2(x)-x2,经简单计算可得

其中，

且

对所有n≥0成立。

注意到

引理4函数在区间严格单调递增，值域为

证明设g1(x)=sinh2(x)-x2,

经简单计算可得

利用幂级数展开可得

其中，

且

对所有n≥0成立。

由 引 理 2和 等 式(9)及 不 等 式(10)、(11)得严格单调递增。

注意到

引理5设p∈R，

则以下结论成立：

(i)若p=7/9,则当x∈ (0,1)时h(x)＜ 0。

证明(i)当p=7/9时,等式(13)可化为

对所有x∈(0,1)成立。即结论(i)得证。

由不等式(15)～(18)和等式(21)可得

对所有x∈(0,1)成立。

因此,由不等式(19)、(20)和(22)，结论(ii)得证。

引理6设p∈R,

则以下结论成立：

(i)若p=8/9,则当时,k(x)＞ 0;

证明(i)当p=8/9时，有

由等式(23)和不等式(25)得

因此, 由不等式(26)～(28)，结论(ii)得证。

2 主要结果及证明

定理1双向不等式

对所有不同的正实数a和b成立当且仅当

证明不等式(29)可改写成

由A(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是对称和一阶齐次的，不失一般性，假设a＞b＞0，设

则不等式(30)可化为

由不等式(31)及引理3得，不等式(29)对所有不同的正实数a和b成立当且仅当

定理2双向不等式

对所有不同的正实数a和b成立当且仅当α2≤2/3，

不 失 一 般 性 ，假 设a＞b＞0，v=(a-b)/(a+

证明不等式(32)可改写成则不等式(33)可化为

由不等式(34)及引理4，可得不等式(32)对所有不同的正实数a和b成立当且仅当α2≤2/3，β2≥ (1+

定理3双向不等式

对所有不同的正实数a和b成立当且仅当

且β3≥ 7/9。

证明因H(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是对称和一阶齐次的，不失一般性，假设a＞b＞0，x=(a-b)/(a+b)∈ (0,1)且p∈ (0,1)。则根据式(1)和(2)得

经简单计算得

其中，

其中h(x)由等式(13)定义。

以下分2种情形证明。

情形1由引理5(ii)和 等 式 (41)可 知 ，存 在λ0∈ (0,1)，使 得H1(x)在严格单调递减，在[λ0,1)严格单调递增。

由等式(39)、(40)及H1(x)的分段单调性可得，存在λ∈ (0,1)使得H(x)在(0,λ]严格单调递减，在[λ,1)严格单调递增。

注意到此时等式(38)变成

由等式(36)、(37)和(42)及H(x)的分段单调性可得

对所有不同的正实数a和b成立。

情形2p=7/9。由引理5(i)和等式(41)可得，H1(x)在(0,1)严格单调递增。

由 等 式 (36)、(37)、(39)、(40)及H1(x)的 单 调 性可得

对所有不同的正实数a和b成立。

注意到

由 等 式 (35)、(45)、(46)和 不 等 式 (43)、(44)，定 理 3得证。

定理4双向不等式

对所有不同的正实数a和b成立当且仅当α4≤8/9，

证明因H(a,b),A(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是对称和一阶齐次的，不失一般性，假设a＞b＞0，且p∈ (0,1)，则由等式(1)和(2)得

经简单计算可得

其中，

k(x)由等式(23)定义。

以下分2种情形证明。

情形1p=8/9。由等式(54)和引理6(i)可知，严格单调递减。

由 等 式 (48)、(49)、(51)、(52)及K1(x)的 单 调 性得到

对所有不同的正实数a和b成立。

情形2由等式(54)和引理 6(ii)得,存在使得K1(x)在严格递增，在严格递减。

由等式(53)得到

由等式(51)、(52)和不等式(56)及K1(x)的分段单调性可知，存在使得K(x)在 (1,μ]单调递增，在单调递减。

注意到等式(50)变为

因 此,由式(48)、(49)和(57)及K(x)的分段单调性可得

对所有不同的正实数a和b成立。注意到

由 等 式 (47)、(59)、(60)和 不 等 式 (55)、(58)，定 理 4得证。