时标上二阶广义Emden-Fowler型动态方程的振荡性

李继猛

（邵阳学院理学院,湖南邵阳422004）

0 引 言

讨论时标上一类二阶广义Emden-Fowler型非线性中立型泛函动态方程

的 振 荡 性 ，这 里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t)))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u，λ＞ 0,β＞ 0 为 实常数；T为任意时标，Δ表示时标T上的Δ-导数，其详细叙述可参考文献［1-4］。并假设方程（1）总满足条件（H1）～（H4）：

（H1） 函 数A(t),B(t),b(t)P,(t)∈Crd(T,R)，且A(t)＞ 0，0 ≤B(t)＜ 1，b(t)≥ 0，P(t)＞ 0，-b/A∈R+。

（H2）函数τ(t),δ(t)均为定义在时标T到T上的时滞函数，且满足

（H3）函 数g(u),F(u)∈C(R,R)，且 当u≠ 0时ug(u)＞ 0，uF(u)＞ 0，且存在常数 0＜η≤ 1和L＞ 0，使得

关于时标的基本理论及时标上动态方程的理论可参考文献［1-3］，方程（1）的解及其振荡性定义可参考文献［3-20］。由于考虑的是解的振荡性，所以总假设时标T是无界的：supT=+∞。对t0∈T且t0＞0，定 义 时 标 区 间 为 [t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T。本文仅关注方程（1）的非最终恒为零的解。

方程（1）包含了许多应用广泛的特殊方程，较为典型的有

对于这些方程，SAKER［5］率先讨论了当α＞1为正奇数之商时半线性动态方程（E1）的振荡性，得到了该方程的若干振荡准则，但其结果对0＜α≤1是不适用的。紧接着，韩振来等［6］讨论了一般方程（E2）的振荡性，推广并改进了文献［5］的结果，但也要求λ＞1为2个正奇数之商且aΔ(t)≥ 0。之后，ERBE等［7］、CHEN等［8］利用时标上的有关理论及黎卡提（Riccati）变换技巧研究了动态方程（E3）的振荡性，得到方程（E3）振荡的一些判别准则，推广并改进了以上有关结果，但也要求γ是2个正奇数之比。最近，张全信等［4，9-11］研究了二阶半线性阻尼动态方程（E4）的振荡性（这里γ＞0），得到了大量关于该方程振荡的判别准则，但这些振荡准则对时滞函数都有较强的要求：“τ是严格递增的可微函数且τ(T)=T”。在这些研究的基础上，杨甲山［12］研究了时标上更一般的动态方程（1）的振荡性，当（H4）成立时得到了方程（1）振荡的若干充分条件，去掉了文献［4，9-11］中对时滞函数“τ是严格递增的可微函数且τ(T)=T”的要求，遗憾的是，却要求AΔ(t)≥ 0，因此，文献［12］的结果对下列方程不适用：

其中，

本文的目的是在较宽松的条件下，研究方程（1）的振荡性，改善以上文献对方程的各种限制条件（如τ是严格递增的可微函数且τ(T)=T；AΔ(t)≥0等），从而使得到的结果适用范围更广。

1 方程的振荡准则

引理1［2］若x(t)是Δ可微的且最终为正或最终为负，则

引理2［12］设A＞ 0,B＞ 0，λ＞ 0为常数，则

引理 3［12］设（H1）～（H4）成立，若x(t)是方程（1）的一个最终正解，则存在t1∈[t0,+∞)T，使得当t∈[t1,+∞)T时 ， 有y(t)＞ 0，yΔ(t)＞ 0，A(t)φ1(yΔ(t))＞ 0，[A(t)φ(yΔ(t))]Δ＜ 0，且1x(t)≥ [1-ηB(t)]y(t)。

定理1若存在函数φ∈C1(T,(0,+∞))，使得

常数δ0=G(T0)＜δ(t)，而T0≥t0充分大。则方程（1）在[t0,+∞)T上是振荡的。

证明反证法。反设方程（1）在[t0,+∞)T上有一个非振荡解x（t），不妨设x（t）为最终正解（若x（t）为最终负解，可令y(t)=-x(t)，类似可证），存在t1∈[t0,+∞)T，当t∈[t1,+∞)T时，x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。 从 而 引 理 3 的 结 论成立。

由方程（1）得

由式（2），可得

事实上，由式（2），当β＞ 1时，有

当0＜β≤ 1时，有

由引理 3知，函数A(t)φ1(yΔ(t))=A(t)(yΔ(t))λ在t1∈[t0,+∞)T上单调减小，故可得

上式两边同除以y(δ(t))，整理得

类似地，对充分大的T0∈[t0,+∞)T及δ0=G(T0)＜δ(t)，有

即

从而

于是，由θ(t,δ0)的定义知，

定义Riccati变换

则w(t)＞ 0（t∈ [T0,+∞ )T）。

若λ≤β，β＞ 1，由式（4）、（5）及引理3，有

由引理3，当t∈[t1,+∞)T时，可得

事实上，由引理3的结论知，当t∈[t1,+∞)T时 ，有y(t)≤y(σ(t))，并 且 有A(t)(yΔ(t))λ≥A(σ(t))(yΔ(σ(t)))λ，由此即得式（9）。于是由式（8）和式（6），得

又y(t)＞ 0,yΔ(t)＞ 0，所以存在常数α＞ 0，使得y(σ(t))≥α，t∈ [t1,+∞ )T，从而

如果0＜β≤ 1，利用式（5），此时式（8）变为

类似地，可推得式（10）仍然成立。于是，由式（10）及

引理2中的不等式，有

由式（12），进一步可得

式（13）取上极限，由常数k,ω1及ω2的定义得到与式（3）矛盾的结论！

若λ＞β，β＞ 1，则与上面λ≤β，β＞ 1时的情形一样，可得式（8）。由式（8），并利用式（6）、（7）及（9），可得

由引理3得，当t∈[t1,+∞)T时，

即

亦即

从而

如果0＜β＜ 1，由式（5），类似可得式（14）仍然成立。于是，由式（14）并利用引理2中的不等式，得

进一步,由式（16）可得

上式取上极限，由常数k,ω1及ω2的定义得到与式（3）矛盾的结论！定理证毕。

注1若方程（1）中,γ=β，g（u）=u，（fu）=u，则由定理1可得方程（其中z（t）=x（t）+r（t）x（τ（t）），γ＞0）

的振荡准则，这就是文献［13］中的定理3.1。显然，本文无“τ=δ，τ是严格递增可微的且τ∘σ=σ∘τ”限制条件；若方程（1）中γ=β，B(t)≡ 0，f(u)=u，则由定理 1可得方程（E4）的振荡准则，但本文无“τ是严格递增可微的且τ(T)=T”限制条件；此外，定理1还去掉了文献［12］的限制条件“AΔ(t)≥ 0”，而且，定理1的条件式（3）较文献［12］的条件更加简洁。

用与文献［12］定理2～定理6完全相同的方法，再结合定理1，可得到方程（1）其他类型的振荡准则。

定理2如果存在函数φ∈C1(T,(0,+∞))和常数γ≥ 1，使得

其中函数Ψ(t)及常数k,ω1及ω2的定义同定理1，则方程（1）在[t0,+∞)T上是振荡的。

例1考虑时标T=[1,∞)T上的二阶动态方程（E5），即方程

再取T0＞ 1且δ0=g(T0)=1 ＜δ(t)，则

在定理1中取φ(t)=t，注意到β＞λ，L=1，则有

即定理1条件均满足，因此，由定理1知，方程（E5）是振荡的。