一类二阶Emden-Fowler型微分方程的若干振动条件

2019-08-05杨甲山覃桂茳覃学文赵春茹

浙江大学学报（理学版） 2019年3期

关键词：奇数常数定理

杨甲山，覃桂茳 *，覃学文，赵春茹

（1.梧州学院大数据与软件工程学院,广西梧州543002；2.梧州学院广西高校行业软件技术重点实验室,广西梧州 543002）

0 引言

研究二阶Emden-Fowler型微分方程的振动性。考虑条件：

（C1）实常数0＜α≤1为2个正奇数的商，而β＞0和γ＞0为任意实常数；函数a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))；p,q∈C([t0,+∞),R),并且q(t)＞ 0，0 ≤p(t)＜ 1。

（C2）τ,δ：[t0,+∞)→ (0,+∞)为滞量函数，并且满足τ(t)≤t且

关于方程（1）的解及其振动的定义，可参见英文文献［1-10］、中文文献［11-21］。最近，文献［11］研究了方程（1）在α=1时的振动性，得到

定理A［11］设β≥γ，a'(t)≥ 0，并且

若有函数φ∈C1([t0,+∞)，(0,+∞))，使得

则方程

是振动的，其中k＞0为常数，函数Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))。

定理A就是文献［11］中的定理2.2，也是其核心定理之一。显然，由于定理A中有严格的条件“a'(t)≥0”，且当β＜γ时未得到方程（E1）的振动性判别准则，因此，在应用时就会有较多的限制。文献［15］研究了更一般的具有非线性中立项的二阶广义Emden-Fowler型微分方程（1）的振动性，放弃了条件“a'(t)≥0，β＜γ”，改进并推广了以上结果，得到方程（1）的振动性判别准则：

定理 B［15］设条件（C1）、（C2）及式（2）成立，若存在函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常数ω≥0，使得

其中，函数

而t2≥t0，k＞ 0和m＞ 0均为常数，则方程（1）是振动的。

定理B就是文献［15］中的定理1，显然此定理不受条件“a'(t)≥ 0，β＜γ”的限制。当条件（2）不满足时，文献［11］得到如下关于方程（E1）振动的判别准则：

定理 C［11］设β≥γ，a'(t)≥ 0，p'(t)≥ 0且τ'(t)＞ 0，若

并且

其中Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，则方程（E1）的每一个解x（t）或者振动或者满足

定理C就是文献［11］中的定理2.4。显然，定理C中条件“p'(t)≥ 0且τ'(t)＞ 0”也是较强的，而且在条件（C）下，定理C（其他文献如文献［12］所得到的结论亦如此）的结果是不确定的，因为不知道方程（E1）的每一个解x（t）是振动的还是0，这就导致在实际应用时非常不方便。当然，定理C也就无法确定Euler（欧拉）方程：

是否振动了。

本文是文献［15］的延续，将利用Riccati变换技术以及各种不等式技巧，在条件（C）成立的前提下研究方程（1）的振动性，得到该方程振动的2个判别准则，且当方程（1）中的α=β=γ=1，或α=1且β=γ，或γ=1时，本文的研究成果改进并推广了一系列已有的结果。

1 主要结论及证明

引理 1［15］设实数X≥ 0，Y≥ 0，则当 0＜λ≤ 1时，Xλ+Yλ≤ 21-λ(X+Y)λ。

引理 2（Bernoulli不等式）［15］对任意实数x＞-1，当 0≤r≤ 1时，(1+x)r≤ 1+rx，当r≤ 0或r≥ 1时，(1+x)r≥ 1+rx。

引理 3［16］设A＞ 0，B＞ 0，α＞ 0均为常数，则当x＞ 0时

引理4［21］设λ≥ 1是2个正奇数之商，X和Y是实数且XY≥ 0，则

定理 1设有条件（C1）、（C2）及（C），且 1-并且条件（4）成立。如果

ρ(t)=（这里k＞0,m＞0是某常数），则方程（1）是振动的。

证明反证法。设方程（1）存在非振动解x(t)，不妨设x(t)为最终正解（当x(t)为最终负解时类似可证），于是存在t1≥t0，使得当t≥t1时，有x(t)＞0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。令z(t)=x(t)+p(t)xα(τ(t))，则有z(t)≥x(t)＞ 0（t≥t1），由方程（1），得

（i）z'(t)＞ 0（t≥t1）；（ii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

情形（i）z'(t)＞ 0（t≥t1）。

完全同文献［15］中定理1的证明，可得到与条件（4）矛盾的结果，因此，方程（1）是振动的。

情形（ii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

定义函数v(t)：

则v(t)＜ 0（t≥t1）。由于a(t)(-z'(t))β-1z'(t)在[t1,+∞ )上严格单调递减，所以对s≥t≥t1，有

a(s)(-z'(s))β-1z'(s)≤a(t)(-z'(t))β-1z'(t)，亦即z'(s)≤a1/β(t)z'(t)a-1/β(s)，两边积分得

于是

在上式中令u→+∞，由函数θ(t)的定义，则有

所以

于是，综合式（7）、（9）就有

利用式（8），则有

由函数z(t)的定义、引理1、引理2及式（11），并注意到x(t)≤z(t)，得

对式（7）求导数，并利用式（6），可得

由式（6）得，当s≥t1时，

a(s)(-z'(s))β-1z'(s)≤

a(t1)(-z'(t1))β-1z'(t1)=-k(这里k＞ 0是常数 ),

由此式可得z'(s)≤ -k1/βa-1/β(s)，进一步有

亦即

上式中令u→ +∞，则有z(t)≥k1/βθ(t)，即

若β＜γ，则有zγ-β(t)≥k(γ-β)/βθγ-β(t)。

若β＞γ，则由z(t)＞ 0，z'(t)＜ 0（t≥t1）知，z(t)≤z(t1)=M，所以zγ-β(t)≥Mγ-β。

若β=γ，则zγ-β(t)=1。由函数ρ(t)的定义，就有

综合式（12）、（14）和（15），再由函数Q(t)的定义，可得

将式（16）代入式（13），得

两边同乘以θβ(t)后积分，注意到θ'(t)=-a-1/β(t)，则有

将引理3应用于上式，则有

由式（10），可得

这与条件（5）矛盾，证毕。

定理 2设有条件（C1）、（C2）及（C），且 1-条件（4）成立。进一步，如果β≥1为2个正奇数之商，并且存在函数ξ,η∈C1([t0,+ ∞ ),(0,+∞))，且

使得

其中函数Φ(t)=Q(t)-(η(t)a(t))'+a(t)η(β+1)/β(t)，而函数θ(t)及Q(t)同定理1，则方程（1）是振动的。

证明反证法。设方程（1）存在一个非振动解x(t)，不妨设x(t)为最终正解（当x(t)为最终负解时类似可证），于是存在t1≥t0，使得当t≥t1时，有x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。由定理 1 的证明知，只需考虑下列2种情形：

情形（ ii）z'(t)＞ 0（t≥t1）。

同文献［15］定理1的证明，可得到一个与条件（4）矛盾的结果。

情形（ iiii）z'(t)＜ 0（t≥t1）。

由定理1的证明知，式（9）成立，由式（9）得（注意β≥1为2个正奇数之商）

令

则由条件（18）及函数η(t)的定义知u(t)≥ 0（t≥t1）。对式（19）两边求导，并由式（6）和（16），得

将上式代入式（20），则有

将引理3应用于式（21），则有

于是

这与条件（17）矛盾，证毕。

注1 显然，本文特殊情形（当α=1时）的结果去掉了文献［11］定理2.4中的条件“a（'t）≥0，β≥γ，p（'t）≥0且τ（'t）＞0”，且本文得到的结果是确定性结论，应用更方便。但在定理2的证明中，由于要用到引理4中的不等式，而此不等式要求λ≥1是2个正奇数之商，否则不等式不成立，因此，当λ＞0不满足此条件时，寻求新方法来研究方程（1）的振动性，是一个有趣的课题。