“切出”算式的结果

贾玉文

笔者有幸参加了2018年乌兰察布市教育局落实“三区”人才支持计划“千名专家服务基层”赴化德县送教下乡活动，我执教了人教版《数学》六年级上册第八单元《数学广角——数与形》一课。

本课旨在借助图形的直观模型解释抽象的数学原理与事实，实现以下教学目标。

一、借助“数”“形”关系，寻找隐藏的规律。

二、通过对图形的观察与操作，应用发现的规律。

三、在探索过程中，感悟数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想，感受数学之美。

【教学重点】

通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。

【教学难点】

利用图形来解决一些有关数的问题。

【课前准备】

课件、黑板贴、正方形或圆形纸张。

【教学设计】

一、借助图形找感觉

（一）创设情境，导入新课

师：前面x老师多次带大家走进数学广角，今天由我和同学们再次走进奇妙无穷的数学广角——数与形。（板书课题）

师：大家欢迎吗？

生：欢迎！

师：欢迎数学广角还是贾老师？还是后面的听课老师？

生：（笑着说）都欢迎！

（二）课前热身，复习巩固

师：请大家观察图形，写出相应的分数。用课件逐一出示、、、，并分别口算出这些算式的和。（+= 、++= 、+++= ）

板书：+++

师：如果按照这样的规律谁能写出下一个分数？（生：）还能写一个吗？（生：）

完善板书：++++++

师：如果继续往下加，你还愿意往下写吗？

生：（摇头）不愿意。

师：（惊讶地）为什么？

生：后面有无数个分数，写不完。

师：写不完的是算术，写得完的是代数。谁来把这道题稍作修复，变成一道求无限个加数和的算式？

“…=”生板书。

师：（微笑着）妙哉！妙哉！此处还没掌声呀？

（课堂上，生热烈地掌声）

（三）学习例2：++++++…=

师：这三个点表示？

生：表示后面有无限个加数。

师：（疑惑地）呀，省略号是六个点，怎么是三个点呢？

生1：这是我在一本数学课外书学到的，这可能是数学学科的规定吧。（师生微笑）

生2：我们的数学书上也是这样写的。 （同学们笑了）

师：所谓老师，就是走在我们的前面。（俩同学不好意思地低下头）好了，我们重新来审视这道算式，它有什么特点？大家能发现什么规律？

生1：这列算式，前一个分数是后一个分数的2倍。

师：还有不同说法吗？

生：2：这些分数的分子都是1，后一个分数的分母都是前一个的2倍。

师：谁能把这两句话合并成一句话？

生3：后一个分数是前一个分数的。

师：精准！那算式中的省略号是？

生1：后边还有很多分数。

生2：也可以说后面有无数个分数。

师：“无数个”就是没有尽头的意思。按照这样的规律无限地加下去，怎样计算这个算式的和呢？

（学生沉默，教室里一片寂静）

师：同学们，到目前为止，这是我们首次遇到计算无数个加数的和，对吧？（老师故意设置悬念，激发学生兴趣）

生：对！

师：同学们对这道题没感觉是吧？（学生点头）没关系！下面，我们要经历一次像数学家那样探究数学的旅程，我们可以先借助图形来找一找感觉。

二、操作图形谈感受

（一）利用练习纸，分组操作图形

提示：请同学们一边观察算式，一边在你选择的图形中折（或画）出它的，在的基础上加上它的，再加上它的，按照算式的要求一直加下去……观察所折（或画）的图形，看能否找到这列算式的结果。

师：小组合作，给大家3分钟的时间，可以吗？计时开始。（老师巡视、指导）

（二）分组展示、汇报

1.师：时间到！哪个小组先来汇报你们的操作过程？

请大家观察这组同学先通过平分找到正方形的，然后在的基础上又做了什么？

生：继续平分，加上、、、…

师：如果继续往下加，下一个数加在哪里？

生：加在空白部分。

师：算式的意思就是在空白处不停地加下去。（学生点头）

2.师：再看这组同学用圆形表示的，他先找到圆形的，然后加上，再加…算式中的省略号表示哪里？

生：右边的空白处。

师：怎么没有、、这些分数呢？

生：我们知道這些分数就在省略号的位置不断加下去，另外，时间不允许。（学生们自发鼓起掌来）

师：省事省时。感受一下，这样一直加下去，和应该是多少？

有几位学生指出和等于1，大部分学生认为和无限接近于1。

3.师：那我们继续观察这组用线段表示的算式，过程同上。

师：老师的手也痒痒的，想演示一下加的过程，可以吗？

（课件出示：圆形模型和线段模型来表示“1”）

师：按这样的规律加下去，和是多少？

生：我认为和是1。

生：我觉得和是无限接近于1。

学生意见还不统一，又相互争论起来。

师：我是这样理解的，大家刚才在圆上或线段上分别有规律地表示出这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段——

生1：画完。

生2：折完。

生3：占完。

生4：占满。

…

师：即这些数相加之和为——

生：1。（多数同学认为）

课件出示：++++++…=1

师：从图上可以看出，这些分数不断地加下去，总和就是1。理解吗？

（还有学生摇头。）

三、数形结合寻感悟

师：大家的眼神告诉老师，还有同学没有完全理解这个算式为什么等于1，因此在感情上还无法接受这个结果。没关系！因为这个问题太难了（学生笑了），在前面推导圆面积的公式也用到这个极限数学思想，同学们到了初中、高中时还要继续学习。今天我们研究这个问题的目的，是在寻求它等于几的过程中体会数和形之间的关系。回头看我们的探究过程，刚开始同学们看到这样一个算式，不知道等于几，谁帮助我们找到了这个方向，找到了这种感觉，也找到了“和”与1有关系？

生：图形！

师：同学们，数和形有关系，你们觉得数和形之间有着怎样的关系？

生：数与形关系非常密切。（同学们笑了）

生：你中有我，我中有你，互相帮助，配合默契。

（教室里响起热烈的掌声）

师：把数与形的关系描述地太形象了！好学生的标准：一积极思考，二勇于表达！同学们思考一下，在数与形互助的过程中，数的优势是什么？形的优势呢？

生：数是准确的，形是直观的。（或一目了然）

师：对！“数”能更精准地表达事物，“形”能更直观地表达事物。其实，我国的数学家（出示华罗庚图）——华罗庚爷爷很早就阐述过数与形的内容：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”你能理解其中的含义吗？

生：有数无形，看不出来;有形无数，难算出来。（全班同学都笑了）

师：理解得太到位啦！看来形能直观，数能入微。所以，后面还有两句话，请同学们读一读。（课件出示）

生：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”

师：如果将数、形分家，什么事都做不了。所以，我们要将数与形——（完美）结合！只有数形的完美结合，我们才能走进数学的神秘世界，寻找它的有趣规律，就会感受到数学的无穷魅力！

（板书：完美结合、魅力无穷）

师：大家想不想检验一下自己本节课的学习效果？

生：想！

四、动手操作触感观

（一）应用规律

课件出示：1------…=

（提示：折纸或画图）

师：请同学们观察算式，大家理解算式中省略号的意思吗？谁来谈谈自己的看法？

生：省略号的意思就是要不断地减下去，要减去无限个分数。

师：大家同意吗？你们知道下一个要减去哪个数？

生：根据这列算式的规律，下一个减去的分数应该是。

师：既然大家明白算式中省略号的意思，那我们怎样来计算这列算式的差呢？找谁帮忙？

生：找老师！（师生都笑了）

师：刚才我们在计算一列分数的和时，是谁帮助我们找到算式的规律？

生：图形！（几位同学齐声说）

师：好！我们再来借助图形试着折一折、画一画。

（学生借助图形，小组讨论，寻找算式结果）

师：哪位同学来说一说自己的看法？

生：老师，我觉得这道题没结果！我们组是借助长方形图形来探究算式的结果，不管减去多少个分数，始终还有剩余，可这个余下的分数仍然不是最终的结果呀。

师：大家展开想象，如果按照这样的规律无限地减下去，请同学们观察图形，猜一猜最后的结果可能是多少？

同学们沉默了。

“是0吧？”一位同学小心翼翼地说。

师：现在请同学们和老师做一个实验，来推导这列算式的差。

（老师出示一个苹果，一把水果刀）

师：同学们，一个苹果减去它的，你们觉得怎么切？剩下这个苹果的多少？

生1：把一个苹果平均切成两份，剩下这个苹果的。（一位快嘴的同学说）  老师把切下苹果的奖励给这个快嘴的同学。（同学们羡慕那个讲解的同学）

师：接着要减去这个苹果的，又怎么切？这时剩下这个苹果的多少？

生2：把剩下的苹果再平均分成两份，余下这个苹果的。

（老师又把切下苹果的奖给讲解的同学）

师：继续减去这个苹果的呢？剩下这个苹果的多少？

生3：把余下这个苹果的平均分成两份，剩下的就是这个苹果的。

老师小心谨慎地切出这个苹果的又奖给讲解的同学。同学们看着老师手里的苹果，都笑了。

师：同学们笑什么？

“老师手里的苹果越来越小。”学生几乎齐声说。

师：如果減去这个苹果的呢？剩下这个苹果的多少？

生4：把余下这个苹果的继续平均分成两份，剩下这个苹果的。

老师拿起水果刀，盯着的苹果，做出难为情地样子。

生：小心手！老师不要切啦，这样做太危险，我明白最后的结果！

师：（惊讶地）什么？说来听听。

生：如果这样不断地减下去，那么就得无限地切下去，最后老师手里的苹果终于切没了，所以这列算式的差应该等于“0”。

“谢谢这位关心老师、大胆猜想的同学！我们还切苹果吗？”老师问。

“不用啦！”学生答。

师：“这的苹果——”

“奖给你！” 同学们手指讲解的学生齐声说。

教室里响起热烈的掌声……

“数形结合真好玩！水果刀帮我们‘切出了算式的结果。”一生说。