引导学生乐于学习和探索的高等数学教学尝试

柯永桂

摘要：高等数学不仅是一门重要的专业基础课，更是被学生公认为最难过关的大学科目。文章从课堂教学、作业布置、激发求知欲和学习潜能及倡导多素健康饮食等方面，阐述了如何引导学生乐于学习和探索的教学尝试及点滴可喜的收获。

关键词：精讲多练；学习潜能；质疑问难；正面暗示；多素饮食

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）28-0163-03

近年来，受高考升学率的逐年提高、高等数学课时的减少、其他科目和学生课外活动的不断增加等因素影响，不少学生心烦意乱，听课注意力、学习兴趣和效率每况愈下，不能以积极自主的学习态度预习、听课和作业，单元测试和期末考试过程中抄袭、对答案的情况时有发生。长期的教学经验告诉我们：不断减少大纲内容、降低教学难度和指定、缩小期末考试范围等消极举措，并不能达到降低期末补考率的目的。其结果适得其反：平时努力、期末认真复习的同学和平时不努力、期末临时抱佛脚勉强通过考试的同学在总评成绩上差异并不明显，这无疑极大地挫伤了大一新生学习高等数学的积极性和兴趣。

为此，近年来我们进行了如下的教学尝试与探索。

一、变传统的满堂灌教学为学生乐于参与的数学活动

1.课堂教学力求重难点突出，承上启下多联想，发掘数学美。对抽象概念的教学，注重引入背景、利用实例或借助几何直观物理意义来帮助学生加深理解、记忆。如：见定积分想曲边梯形的面积或积分区间的质量；见二重积分想曲顶柱体体积或积分区域的质量；见三重积分想积分区域的质量；见对弧长L的曲线积分想L的质量。由此引导学生发现它们的共同点——都是求积分区域（线、面、体）的质量问题（体现了数学形式的统一美），而见对坐标的曲线L积分应该想质点沿L所做的功。

对定理性质的证明，注重讲清证明方法是怎样想到的，从条件出发，结论逆推并为之建立联系，强调从中处处体现且可以再用的数学思想和方法。定理条件只是在证明过程中需要增加而自然给出的，对例题、习题的讲解尽量做到一题多问、一题多解、多题归一、多题一解，这样有助于学生把书从薄读到厚，又从厚读到薄，打开解题思路，培养独立自信的解题习惯和发散思维的能力。

3.引导学生养成用批判的观点学习思考的习惯。注意引导、鼓励学生多质疑教材、参考书和教学内容。如：时常带领学生发现全解和教材在某处有一个错误，甚至指出教材编写某处的不合理性，请学生思考后再讲解，培养学生善于用批判的观点来学习和思考的习惯。可喜的是，2018级学生在刚刚开学几次课后就提出教材P22有一处叙述错误，老师的肯定和表扬对他的数学学习和发展有着非凡的意义。

4.因材施教，分层教学。对于大部分学习能力一般的学生，要求其做好课前预习、认真听课和尽早完成课后作业，可用授课讨论的方法与他们一起进行课堂教學；对于学习较差的学生，应该多为他们耐心、详细地讲解基本内容、习题和单元测试题的解法，让他们逐步树立起学习的信心，甚至安排集体自愿参加的章节和期末补课，以激励他们怀着感恩之心更加努力、更有信心地投入到学习中来；而对于学习较好的学生，他们已经通过预习基本掌握了教材内容，只要在课上给出要做的习题和难易分层的思考题让其进行讨论、问题思考，他们只需要听讲一些自己预习不太懂的内容，先解和听讲思考题的解答，也可以花几分钟先请他们上来解答，教师之后进行讲评，并且要注意表扬、鼓励这些参与教学的学生。

二、运用整体思想设计教学内容，兼顾学生终生发展

由于我所教的是每周四课时（每课时45分钟）材化学院的高等数学，而规定用的是同济七版多课时教材。应该说课时少、内容多且要求高，每章书后的复习题大多来自历年的考研试题和竞赛题。要想兼顾学生数学能力的培养、终生发展和为学习其他学科打下良好数学基础，且让学生通过自己不懈的努力变得更自信、更有幸福感，而不仅仅只求期末统考取得好成绩，这就需要慎重选择教学内容，高等数学内容是一个不可分割的整体。

因此，我选择全部讲解基本内容，不要求学生对于教学大纲没提到的内容进行作业。鼓励学生积极参加竞赛，以此来激发他们自主学习的积极性。我们每届完整的教学结果都换来学生对高等数学浓浓的兴趣，他们还积极参加校、省和全国微积分竞赛，并获得优异成绩；期末平行班封闭式统考成绩自然每次最佳，就充分验证了我们的教学成果。如：有应化班学生荣获第五届全国大学生数学竞赛决赛二等奖（第54名）（获奖名单http：//www.cms.org.cn/cms/xhxw/feimath.pdf），是学校有史以来最好的数学竞赛成绩，后考取了浙大研究生；有2014级获校、省微积分竞赛一等奖的两位学生，后转数学系，现在都已获得19级学术硕士保研（华师大和南师大），占了整个理学院2015级320名毕业生中三个学术保研名额的两个。

三、创设互帮互学、你追我赶的学习氛围

1.鼓励学生志存高远，积极参加数学竞赛。人是一种习惯动物，人生就是一个不断改变自己、不断突破自我的学习过程。如果你始终坚持磨炼，突破自我，那么你最终才能成就伟大。鼓励学生志存高远、知难而进，为今后的发展打好数学基础，鼓励学生积极报名参加数学竞赛。坚持做到每次课前预习，课中认真听讲、记教材没讲到的笔记，课后尽可能及时地消化、完成作业，紧跟教学进度。同学之间要互帮互学，教学班微信群及时答疑解惑，努力做到不存疑。

2.变课后作业为学生自我负责、自主乐于完成的数学活动。作业理应是为学生学习理解和巩固教学内容所设置的，学生应该是在独立思考或互帮互学的情况下按时完成并得到及时批改和订正，但从现状来看，情况并不乐观。不少学生往往在每周交作业前的晚上或高数课上一抄了事，且成为习惯。针对这种情况和学生沟通后，确定每章复习课结束后交作业，且在每次习题讲解后自我批改作业及订正，并记平时分。对于数学学习能力和自觉性较强的学生，作业可以做在书本上，但要求至少选做一半题目，每章给科代表或老师检查，通过即可。

3.平时课上注意随机地多请学生上来解题。波利亚的数学解题观可以简单概括为“问题转换”，他认为解题就是把问题转化为一个等价的问题，把新的要解决的问题化归为一个已经解决的问题。课中注意抽查、了解学生的作业情况，时常随机地多请学生上来解题，这样既能有效地督促学生按时完成作业、参与教学，又能有效地对学生的作业进行讲评和指导解题方法。

4.鼓励学生以寝室为学习小组互帮互学。由于大学数学竞赛和考研数学与期末考水平的相近性，介绍学长们的期末竞赛和考研的好成绩，鼓励新生为学好高等数学参加微积分竞赛，坚持每天努力一点点。赠送每个班学生一本竞赛用书和每个寝室学生一本学习参考书，请最近单元考竞赛或期末考成绩最佳者保管，最后赠送给全国竞赛成绩最佳者。让学生明白，同寝室同学之间应该经常质疑问难、互帮互学、共同进步，其实在帮助同学的过程中，自己也能更加深刻地理解相关知识。

四、倡导既能健身又能提高智商的多素饮食

爱因斯坦说：“吃素可以让智慧不被蒙蔽。”富兰克林说：“素食饮食会有更聪明、更清晰的头脑和快速的理解。”在为学生创设的教学环境中，一个最具特色的亮点应该是鼓励学生多素少荤的饮食，以大大提高听课效率，而且总是玩笑似的提醒学生有高数课的那天要努力素食。还请2017、2018级学生添加徐嘉博士公众微信号，观看其低碳、环保、健康的植物性饮食结果。在我所教的材化学院的学生中，每届都产生了不少基本素食者甚至纯素食者，他们由于多素食后身体变得更健康，轻松拿到体测80多分。一位娇小的女生甚至不开刀、不吃药，纯素食逆转肿瘤等慢性病，四年保持正常学业且在省微积分竞赛中获两个二等奖，毕业后坚持考浙大研究生，且获学校马拉松竞赛第十名、第五名（130人参加）的好成绩等。另外，轻松提高了男生2000米成绩，有纯素食男生科代表轻松跑完2000米只用了7分20秒，这是需要专门训练才能获得的成绩；且数学不好的他竟然获学校微积分竞赛奖。类似的例子举不胜举。

在2017、2018年五月的全校理光杯微积分竞赛和省竞赛中，材化学生和一位生科学生（选我课的）均获得了好成绩。（jwc.hznu.edu.cn/c/2017-05-23/1689914.shtml，jwc.hznu.edu.cn/c/2017-09-20/1861341.shtml，jwc.hznu.edu.cn/c/2018-06-25/2034681.shtml）在2017年全国大学生数学竞赛（浙江赛区）全校24名获奖学生中，就有6位是材化学生（file：///C：/Users/Admin/Desktop/浙江省数学会关于公布第九届全国大学生数学竞赛获奖文件_扫描骑缝章_优化.pdf）。了解到这些获奖者大多是平时多素食，考前必素食的。他们能够坚持素食，是因为尝到了素食带来的好处。

五、激发学生求知欲和学习潜能

1.兴趣是做好事情的原动力，也是最好的老师。在我的学生中，有称我为柯姐姐、妈妈老师和柯奶奶的，可能因为我看上去较年轻、有活力，可能因为我像妈妈一样地关爱学生，也可能因为我2016年该退休，这些称呼无一不体现着师生间亲密无间的爱。要让学生爱学数学，首先就应该让学生爱上你这位数学老师！为了节省时间，我的课堂一般不点名，而学生也绝不会少，不论是哪个层次的学生在课堂里都有合适的事干，甚至还可能获得小小的惊喜。

2.精讲多练，增加典型例题，激发求知欲和学习潜能。由于全校每年的微积分竞赛仅分数学和非数学两类，我们又属少课时教学，要想尽可能多的学生能真正学好高等数学，鼓励学生参加竞赛，激发自主学习的积极性，备课时就得合理安排精讲教材内容及习题，适时、适当地增加典型例题，让学生先练后讲，并且利用单元测试培养学生独立解题、自信应对难题的能力。因此，据学生普遍反馈，我的高数课容量极大，但他们明白这样对他们好，因而大多喜欢和支持这样的教学方法。

3.在质疑、享受成功乐趣和感恩中激发学生的求知欲和学习潜能。适时安排单元测试，变期中考为每几章的单元测试，与大多科目期中考的时间错开，批改评分记入平时分，并以惊喜的方式及时奖励每个班最佳百分之十的学生，点最差百分之十的学生学号，并从学生所提问题和测试中反馈教学信息，及时约时间为学生集体补课、讲评。在质疑、纠错、享受成功乐趣和感恩中激发学生的求知欲和学习潜能。

4.渗透数学思想方法，感受数学之美。高等教育所培养的人是具有健全人格和良好品德的全面发展的人，而不是简单承载知识的容器。数学处处都充满着辩证法对立与统一、特殊与一般的思想，处处都体现着真正的和谐、公平、公正的价值理念，处处都散发着独一无二的数学之美。

5.增强教学内容的趣味性和应用性。利用微信上常常出现的看似不可思议的规律性趣味问题，如：由手机末三位数通过一系列加减乘除就能准确无误地算出年龄等问题，以及身边老同学在改进公司产品时需要解决的微分方程问题，增强教学内容的趣味性、生活性和应用性，开阔学生的眼界，培养他们自觉运用数学知识解决实际问题的能力，并以此来丰富高等数学的教学内容，从而激发学生的学习兴趣。只有当学生充分认识到高等数学正如华罗庚教授精辟指出的那样：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学”对于后续学习、生活和创业的重要意义时，才能发奋学习，高等数学的教学自然会取得事半功倍的效果。

6.心情、开窍、暗示、遐想、砥砺和计划是激发学生学习潜能的六大原则。努力做学生的好朋友，鼓励学生质疑。耐心答疑解惑，哪怕是课上讲过或很粗浅的问题，永远带着愉悦和蔼、阳光的神情上课。课堂用语风趣幽默，让学生也感染上好心情，如此就能集中注意力专心听课，思维易发散和开窍，学习潜能自然被激发。另外，适时秀秀他们学哥学姐的好成绩，暗示他们也可以那么好。

六、传统教学手段应与现代化教学方法相结合

多年的教学实践与探索表明：将传统的教学手段与利用多媒体课件进行教学相比较，学生更喜欢老师采用传统的方式进行高等数学教学。因为，看似老师的板书时间或是画图是在浪费宝贵的上课时间，但这恰好给学生留出了应有的思考和學习时间。有时一天5—9节课的课时安排，疲惫的大脑在听课时往往是大打折扣的。但由于运用多媒体教学信息量更大、形象更直观，教学内容安排可能更生动活泼。因此，在教学中，根据不同的教学内容合理选择相应的教学手段和方法是极其重要的。只有将传统的教学手段与现代化的教学方法适时、有效地结合起来，才能各尽所长，充分调动学生学习高数的积极性，从而达到最佳的教学效果。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社，2013.

[2]陈兆斗，黄光东，赵玲玲，邓燕.大学生数学竞赛习题集[M].清华大学出版社，2016，（04）.

[3]潘海林.关于数学实验对高等数学教学重要意义的思考[J].数学学习与研究，2015，（07）.

[4]张志信.如何在高等数学教学中培养学生的创新思维[J].大学数学，2013，（05）.

[5]素食提高智商，披露名校高考密招_花开见佛_新浪博客http：//blog.sina.com.cn/s/blog_447a9ed90100xz9t.html