高中数学智慧课堂的建构与思考—以人教A版必修四《平面向量基本定理》一课为例

广东省深圳市龙华高级中学(518131)裴黎黎

深圳市龙华区教育科学研究院(518131)殷木森

本节课是人教A 版高中数学必修4 第二章第三节的教学内容.在传统的教学中,通常是通过前面已学习过的向量加减法的几何意义,以及向量共线定理,将学生从已有的一维向量空间(直线)带入到二维向量空间(平面).学生往往由于缺乏直观感受,以及深度交流,对知识的理解仅停留在表面层次.于是,笔者决定运用智慧课堂的教学理念设计本课.

在第一次执教本课时,笔者虽融入了pad 的“对比分析”、“拍照分析”等相关技术手段,但并没有达到预想效果,究其原因,是仅视信息技术为一种工具.经过反思,笔者认识到真正的智慧课堂应结合所教内容真正将学生的发展作为信息技术与课程教学融合的出发点[1],不仅要达到知识理解(数学核心素养一级水平)、知识迁移(数学核心素养二级水平),还要能够灵活运用知识和方法解决探究性、开放性等非常规性问题;能对数学问题进行变式、拓展和推广,提出富有见解的数学猜想,并能证伪和证实猜想;能够用数学的思维方式观察和分析事物,形成严谨的数学思维,即达到知识创新(数学核心素养三级水平)[2].

于是,在第二次执教本课时,笔者做了大幅修改,结合了翻转课堂的理念,利用“微课导学”、“预习测试”、“抢答和随机点名”等信息技术,充分发挥学生主体性,实现信息技术与课程教学的深度融合.教学设计与建构反思如下:

一、设计与实录

(一)课前任务,感知问题

任务1设是同一平面内两个不共线的向量,如图1所示,请你作出向量:(1)(写明作图方法)

图1

任务2依据物理中力、位移、速度等矢量分解原则,思考:

(1)图2中的向量可以往向量与的方向分解吗?若可以,请作出分解图;

(2)图3中的向量可以往向量与的方向分解吗?若可以,请作出分解图.

图2

图3

课前学生已完成任务1 和任务2,并将自己的作业拍照上传,如下图:

图5 任务2(1)对比图(部分)

先观看任务1 对比图,提出问题:“对比这几份作图,你有什么发现? ”目的是引导学生从作图和对比中感知体验:当是同一平面内给定的不共线向量时,向量(λ1,λ2是确定的数)是唯一确定的.再看任务2 对比图,引导学生感知:当是平面内给定的向量时,它往同一平面内给定的不共线向量方向的分解形式是唯一确定的.

(二)课堂引入,发现问题

问题1在图2的分解图中,你能描述向量之间的关系吗? 你能尝试写出三者之间的关系式吗?

问题2在图3的分解图中,向量之间也存在这样的关系式吗?

此时,再通过pad 将任务2 中(1)和(2)的分解对比图展示出来(如下图),引导学生利用向量共线定理和平行四边形加法原则,探索出关 系式:和学生会发现:在这两个关系式中,λ1,λ2发生了变化.

图6 任务2(1)和(2)对比图(这里是对应任务2 里的图2、图3,应该不需修改)

传统的通过学生板演或投影某一位学生的成果教师分析讲解的方式,往往具有片面性,所以这里三次使用pad 对比图,目的是通过呈现多名学生的作图,增强学生对问题的客观认识和判断,更容易发现并提出其中蕴含的数学问题.

问题3 平面内任一向量是否可以由同一平面内任意两个向量来表示呢?

问题3 先探究向量需要满足的条件,引出基底的概念,让学生借助平行四边形分解原则理解基底的不唯一性.接着引导学生对向量→a的任意性与λ1,λ2的唯一性的理解,并发现向量→a的几何形式与其代数形式中实数对λ1,λ2的一一对应的关系,从而将向量的形式化转为数量化[3],渗透数形结合的数学思想.

图7

这里主要借助几何画板将学生发现的结论从特殊引到一般,并通过动态演示,让学生感知零向量或与或共线的向量等也能表示成形如的关系式,且对于每一个向量有且只有一对实数λ1,λ2与之对应.再引导学生类比向量共线定理中证明实数λ唯一性的反证法,对实数对λ1,λ2的唯一性进行证明.分别从几何与代数进行分析证明,从而突破难点.如下是学生的证明过程,学生会出现→0 与数0 的概念混淆问题等.这样公开评析不仅能高效地反馈学生的作答情况,还能借助学生的示范作用激发其他学生思考问题的积极性,这里所用到的反证法也为之后要学习的推理与证明做铺垫,是高中阶段的一种重要证明方法.

图8

(三)小组讨论,分析问题

这个环节主要考查学生对→a的任意性;λ1,λ2的存在性与唯一性;的不唯一性是否真正理解.第一次试课,教师让学生进行小组讨论,再派代表阐述观点,发现学生对此积极性不高,且很难将其阐述清楚.经过修改,教师将此问题设置为网络互动题,让学生跟帖自由讨论,在学生的讨论中出现了“若基底改变”等类似表述,可看出个别学生对基底的概念还未真正理解,或是表述不严谨.下面来分析学生得出的几点结论与思考:

图9

(4)“若不变,基底改变,则λ1,λ2不一定随基底改变而改变,要看基底的选择,即可能改变、也可能不改变”;

(5)“若基底中改变,不变,不变,则λ1,λ2改变”.

(四)理解应用,解决问题

例在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点M,若以为基底,

(2)如图11,若点Q,N分别是AD,AB的中点,请你用表示出:

图10

图11

变式若以为基底,请用分别表示出上述各向量.

第一次试课,教师利用pad 拍照上传某学生的例题作答,引导学生互相评价,从而总结解决问题的两类方法:代数运算与几何分解.变式部分则通过拍照上传教师直接进行批改再分享.第二次上课,教师在变式部分改用pad 的抢答和随机点名功能,绝大部分学生在习得例题的方法后会很积极地抢答.另外,使用随机点名能及时检测学生的掌握情况,并对学生进行针对性教学,即高效实现课堂中的问题集中辅导.

(五)课后提升,探究问题

在△ABC中,若以为基底,D为BC边上一点,请用分别表示出符合以下条件的

(1)D是BC的中点;

(2)

(3)

图12

教师将这道提升题传到班级空间让学生课后讨论,要求学生书写具体过程,拍照提交作业,做到培养学生合作探究的习惯与能力的同时,也不忽略对其书写的一贯要求.教师可挑选出优秀作业共享到班级群,这有利于对学有余力的学生的培养,同时发挥他们的作用对其他学生进行辅导.

二、建构与思考

(一)课前可以增加微课视频和预习测试,培养学生自主学习能力

本课课前虽集中学生进行任务1 和任务2 的作图,为引入新内容做好了铺垫,但无法精准获知学生对本课的学情分析.所以,在课前教师可以录制一段学习视频分享到班级空间,让学生学习后完成预习作业,充分发挥学生主体性,培养其自主学习能力.微课有利于重要知识点的重复学习,而本课的重点内容就是定理的产生过程与应用,需要学生在探究过程中体会其从一维到二维、从特殊到一般、从形到数等数学思想,从而达到从理解到迁移和创新的目标.微课视频的可重复学习在一定程度上缓解了教师在课堂教学中应对不同层次学生的问题,并可以减少课堂的重复性教学[4].与此同时,学生可以在提交预习作业之后即时收到答案,教师也能收到作业数据报告,包括每一道题的正确率、回答正确学生名单,每一个学生的得分情况等,这不仅能帮助教师在课前真正做到以学情分析为核心,从而有针对性地组织课堂上的问题探讨,还能有效地对学生存有的问题“对症下药”,提高课堂的学习效率.

(二)课中真正以学生为主体,引导学生把握数学内容本质,培养学生合作探究能力

本课对于问题1 和问题2 的讨论略显沉闷,原因之一是学生表现欲下降,很难主动举手回答问题,之二则可能是外部刺激不够,学生拘泥于传统提问的形式,不敢表达自己的见解.所以教师可以在此处设置抢答环节来调动学生回答问题的积极性.在课堂组织形式中,还可以设置小组PK 板,通过抢答或随机点名回答正确、互动中发言次数最多等方式给小组加分.一般来说,教学实践中可将学生的学习动机主要分为内部动机和外部动机两种[5],表扬与奖励比批评和指责更能有效地激发学生的学习动机[6].而这种组织形式的目的就在于通过外部诱因和刺激来激发促进学生的学习,让小组之间形成良性竞争,从外部的分数PK 逐步深入到学生对知识本身的求真和探究.美国心理学家德西认为,外在动机使用不当也会导致内在动机的抵消.所以教师在教学中应努力促进学生的外在动机的内化过程,即让课堂上设置的这些外在因素尽可能地激发学生对学习活动的意义的内在认同和追求,进而使得学生将学习与个体自我整合,达成将学习本身作为终极目标.

而在课堂教学过程中,最能够体现学生思维的是他们对某个大问题的研讨过程,这是学生自己建构知识意义的重要环节.问题3 和小组讨论是本课的重点环节,将对定理的前提条件、数形转化的过程、条件改变与新结论生成等展开充分探讨,也是学生思维发展的重要过程.在智慧课堂的互动环境中,一方面学生可以提出自己不理解的问题,并随时回答他人提出的问题,大家都能及时获取动态信息,各取所需,各个击破.另一方面,教师可以全盘关注学生的探讨过程,能随时调整教学方式和进程,寻找适合学生的教学方法和手段.这在很大程度上调动了学生提出问题、思考问题与发表言论的积极性,营造了浓烈的生生互动、师生互动的讨论氛围,使得学生提出的问题真正高效地得到解决.同时,这种网络讨论中“多对一”、“多对多”的对话模式,使得课堂形式不再局限于传统的“师生一对一”或“生生一对一”模式,给学生提供了更多自由思考与互相学习的时间与机会.所以在教学实践中,学生不仅提出了预期的结论,还提出了其他的思考与疑问.在这个过程中,学生通过自己的语言表述本课的重要定理,是其对定理内容本质的领悟,即达到知识理解(数学核心素养一级水平),同时感受到团队合作探究的成就感.对于变式部分,学生在例题的启示下,利用转化的思想表示出关系式,或直接作分解图得出表达式.这就达到了使用同一组基底表示不同的向量、或用不同的基底表示同一个向量的学习目标,即知识迁移(数学核心素养二级水平).

(三)课后实现跟踪式个性化辅导,让不同水平的学生都能学有所获,更显智慧育人

传统课堂一般是统一布置课后作业,新课改后出现了分层布置,目的是布置适合不同学生水平的作业.而教师采用pad 教学可以根据课前和课中学生的具体表现,利用技术平台在课后重点开展个性化辅导,如给不同的学生发布不同的作业,或推送适合学生的不同的学习资料等,真正实现因材施教.学生在完成客观题后,可以得到即时的自动批改,相比传统模式更加高效.虽然对于主观题教师仍倾向于采取传统的批改方式,但是如果在时间充沛的情况下能熟练运用网络批改方式,学生将受益无穷.即将教师对学生上传的作业图片的评讲过程录制下来,然后再将视频推送给这名学生或其他有类似错误的学生,可达到问题的个别或部分辅导的目标.另外,学生也可以在视频下方留言,表达自己的疑问或思考,与同学们讨论交流,教师能及时关注到讨论情况,有利于下节课的学情分析,更有针对性地进行备课.

本课设置课后提升讨论的目的在于培养学生探究数学问题的意识,重在培养优秀学生的思维能力,能够解决一些探究性、开放性的问题等,达到知识创新(数学核心素养三级水平),同时希望借助他们的讨论营造良好的数学学习氛围,帮助学生形成正确的数学学习观.

(四)智慧课堂教学流程结构设计简图(以平面向量基本定理为例)

三、“智慧”是核心

作为一门典型的逻辑性强的学科,高中数学的教学始终要坚持以学生为主体,回归培养学生核心素养的本质.目前,对“互联网+”智慧课堂教学的探索仍处于实践发展阶段,在pad 教学应用方面,还存有一些问题:pad 与公式编辑器和几何画板软件不兼容,如何对不同的内容进行“智慧”设计,智慧课堂教学模式是否千篇一律等.信息技术的使用,应以培养学生数学思维能力和问题解决能力为核心,所以教师还需结合实际教学情况进行选择性设计,把握教学的深度与广度,这对教师使用pad 教学又是一项新挑战,同时也将是信息时代下教育发展的新趋势.信息技术与高中数学教学的融合,强调人、技术、教学活动之间的和谐互动,以促进学生发展为出发点与目的,符合新课改的要求,它可以提高学生自主学习能力,有利于改变学生的学习方式,课堂以合作探究为主,课后能进行个性化学习,也有利于培养学生的未来素养.