借用三角换元妙解竞赛试题
2019-07-16方志平
方志平
三角换元是一种用三角函数代替问题中的字母,然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的一种代换方法.合理的三角换元,不仅能化繁为简,化难为易,而且能启迪学生思维,拓宽视野,激发学生学习热情.本文精选部分高中数学竞赛试题为例,供读者参考.
1 妙解有关整式问题
例1 (2017年全国高中数学联赛河南省预赛试题)实数x,y满足4x2—5xy+4y2=5,若S=X2+y2,___________.
评注 条件X2+y2=S让我们联想到圆的参数方程,利用三角换元,反解出S,结合正弦函数的有界性,求得p,q.其思想方法可谓匠心独运,令人赞叹!
例2 (2016年全国高中数学联赛河南省预赛试题)若实数x,y满足X2-2xy+5y2=4,则X2+y2的取值范围是_________.
解 由X2-2xy+5y2=4,
评注 由本题条件X2—2xy+5y2=4,容易想到等式左边配方(x-y)2+(2y)2=4,该式启发我们类比圆的参数方程,借用三角换元,将代数问题转化为三角问题,再用三角运算问题迎刃而解.特别要注意,例l与例2因题目条件中结构式不同,而采用的处理方法有别.
2 妙解有关根式问题
例3 (2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛试题)已知实数x,y满足17(X2+y2)-30xy-16=o,则
评注 根据题设条件,经过恰当配方出现平方和为常数的关系式,于是想到三角换元.特别要注意的是4x-2y巧妙变形为3(x-y)+(x+y),为整体代入换元创造了有利条件.其构思巧妙,方法新颖,独辟蹊径.
例4 (2012年全国高中数学联赛山西省预赛试
评注 本题为一道含有两个根式且求无理函数的值域问题,直接进行代数变形相当困难.如果本题单纯求最大值,则可考虑用柯西不等式求解.经观察、分析式子的结构特征,令x=2+sin2 a(0≤a≤实乃新奇,构思精巧,意境高远.
例6 (2012年全国高中数学联赛江西省预赛试
解 函数定义域是[-l,1],由于原函数是奇函数因求函数y的最大值,不妨设0
评注 本题条件中函数式的结构特征,我们不难想到三角换元,但巧用函数的奇偶性及导数的手段来求最大值,是很有创意的,且让人耳目一新.
3 妙解有关绝对值问题
例7 (2012年全国高中数学联赛湖南省预赛试
评注 本题进行了两次换元,我们不难发现,借用三角换元的关键在于通过对题中条件或结构的有规律的“模式识别”,充分利用题目中的有效信息,积极思考,巧用化归与转化思想,构建合适合理的解题方法. 例8 (2017年全国高中数学联赛河北省预赛试题)已知x,y∈R,2x2+3y2≤12,则|x+2y|的最大值为________.
评注本题除了借用三角换元求解以外,题目结构特征也容易让我们油然而生地想到用柯西不等式然流畅,丰富了学生的解题思想.
4 妙解有关解几问题
例9 (2012年全国高中数学联赛山西省预賽试
对称轴分别交于点A,B,则线段AB长度的最小值是____.
解设切点为P(5cosθ,3 sinθ),
则椭圆在点P处的切线方程为:
故线段AB长度的最小值是8.
评注 借用椭圆的参数方程,设切点P(5cosθ,3 sinθ),从而得出椭圆的切线方程,弦长|AB|即可用三角函数表示,再巧用柯西不等式,问题的瓶颈得了实质性的突破!
综上,一些数学竞赛试题看似新奇,构思精巧,意境深远,通过联想、类比、变形,便可发现这些考题植根于三角函数,巧妙运用三角换元,将问题进行有效的转化和化归,不仅降低了解题难度,而且提高了解题效率,从而达到事半功倍的效果.