探究椭圆、双曲线的一类对偶性质

陈俐宏

椭圆与双曲线都属于圆锥曲线，它们在性质上体现出统一性与相似性，此类性质成为近年来高考的热点之一.下面笔者探究了椭圆与双曲线的一类对偶性质，与读者共赏，

性质1

F2，A，B分别是椭圆C的左、右焦点和左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B两点的任意一点，过点P作直线AP，PF1和PE，且直線AP与x=a相交于点D，则以BD为直径的圆与直线PF，PF都相切. 证明设直线IAP：y=k（x+a），则点D的坐标为（a，2ka），BD中点E的坐标为（a，ka）.

下证以BD为直径的圆与直线PF相切，同理可证与直线PF2相切.

证法1

∵以BD为直径的圆的半径为|BE=|ka|，则d=|BE|，故以BD为直径的圆与直线PF1相切.

证法2.

∵直线BF1与以BD为直径的圆相切，

∴与直线BF1所成角为2∠BF1E的直线PF1也与以BD为直径的圆相切.

注∠BF1P和∠BF1E的取值范围为[-900，900].

我们将性质l类比到双曲线，从而得到一个对偶性质，限于篇幅，以下证明从略.

性质2 已知双曲线c：

点F1，F2，A，B分别是双曲线C的左、右焦点和左、右顶点，点P是双曲线C上异于AB两点的任意一点，过点P作直线AP， PF1和PF2，且直线A与x=a交于点D，则以BD为直径的圆与直线PF1，PF2都相切.

推论3 已知双曲线c：

点E，F，A，B分别是双曲线C的左、右焦点和左、右顶点，过双曲线C上右支异于点B的任意一点P作直线AP，P和PF2，且直线AP与x=a相交于点D，则△PFIF2的内切圆是以BD为直径的圆.