例谈数列中函数思想的应用

朱水英

数列一直以来都是高考的重点内容.数列这一块内容的教学对于教师来说是比较有体系的，一道例题适当改动就可以派生很多小题，什么题型对应什么方法都是很有规律可循的，虽然教师讲得起劲，但是学生掌握得并不怎么好，因为学生在接受新知识新内容时会存在一定的困难，题型方法越多越容易混淆.所以作为教师在教学过程中不仅要交给学生解题的通法，而且最好能在学生已有的认知领域内挖掘数列这一块内容与其它章节的关系，往往能有意想不到的效果.

数列作为一种特殊的函数，其包含的函数思想是中学阶段重要的数学思想方法之一，很多数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.因此我们在解决数列问题时，应充分利用所学的函数知识，以它的图象和性质为纽带，有效解答数列问题，本文就从数列的单调性、最值、周期性等入手揭示函数与数列间的内在联系，有效化解数列问题.遵循高中学生的认知规律，并依此为教学出发点，有助于激发学生的认知兴趣，提高学生数学解题能力.

先看一个问题“已知数列{an}的通项an=n2-5n+4，（l）求a6;（2）数列中有多少负数项;（3）当n为何值时，an有最小值.”这是数列中的一个基础题，对于很多学生来说都会做，但是仔细推敲就会发现此题包含了很多的函数知识.其实数列的通项就是一个函数解析式，第一小题求an就是求自变量为6时的函数值;第二小题有多少负数项就是己知函数值为负数求自变量值;第三小题就是函数的最值问题，只不过数列这种函数的特殊之处在于其是以N+或其有限子集作为定义域的一类特殊函数.既然数列是一种特殊的函数，那它就会具有函数的一些固有特征，利用函数的单调性、周期性、数形结合等函数思想在解数列问题中就起到了举足轻重的作用.而函数这块内容在高一上学期学习，数列在高一下学期学习，从认知体系上更有利于学生的学习和教师的教授.

1 数列的单调性

案例1 已知数列{an}的通项an=n2+kn，且对任意正整数n，an+1>a恒成立，求实数k的取值范围.

分析 方法1对任意正整数，z，an+1>an恒成立，即数列{an}为递增数列.若构造二次函数f（x）=X2

+kx，则函数f（x）在定义域{x|x>l，z∈N+}上为递增

方法2 对任意正整数，z，an+1>an恒成立，即an+1-an>0对于一切，z∈N+恒成立，即（n+1）2+k（n+1）一n2-kn=2n+l+k>0对一切，z∈N+恒成立，設f（n）=2n+l+k，则只需f（n）的最小值大于o即可，显然f（n）有最小值f（1）=3+k，所以3+k>0的取值范围是k>一3.

小结 案例1的第一种解法就是从学生已有的认知领域内入手，将问题转化为“若函数f（x）=X2+kx为递增函数，求实数k的取值范围”，将数列的单调性转化为二次函数的单调性，但学生在解答时容易出错的地方就是认为函数的单调增区间为[1，+co），函数f（x）为定义域{xlx>l，x∈N+}，其图象是一个个孤立点，这也是数列作为函数的特殊之处.第二种方法是研究数列单调性的一种非常基本的方法，通过作差an+1-a转化为恒成立问题，最后用数列实际上还是用函数的最值问题来解决.

2 数列的最值

{an}的最大项和最小项.

分析 求数列的最值常用的方法是研究数列{an}的单调性.

方法1

所以最小项在a4和a5中找，

最大项在a1和a10中找.

小结 数列的最值问题是数列中的常见题型，在学生已有的认知角度来看它就是求函数的最值，而函数的最值一般是从函数单调性入手，所以自然而然就想到通过构造函数的方法来考虑单调性，即方法1的思路，充分体现了特殊函数在数列中的应用，但是学生构造了对勾函数后最想用基本不等式求最值，究其原因就是忽略了函数的定义域，没有考虑等号是否取得到.而方法2是研究数列单调性的常见思路，类比于作差比较（an+1-an与0），还有作商求此数列的最大项和最小项.

分析 此题型与案例2类似，上述的三种方法在此题中都能用，但方法2与方法3运算量较大，运的图象，很快就知道此数列的最大项为a10和最小项为a9.笔者用了此法讲解完本题后学生都很激动，都觉得这个方法好多了，深刻体会到数列作为一种特殊函数，其函数思想的有效应用大大简化了计算量，降低了题目的难度.

以函数图象为工具，直观简化数列问题，观察图象得出最值，使学生发现解题的捷径，体会数列的特殊性，提供更大的创新空间.函数图像是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段.在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式

及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果.

3 函数图象在数列中的应用

案例3 等差数列{an}中，a1>o，前n项和为sn，且S9>0，S10<0，则n为何值时，sn最大？

分析 方法1本题的一般解法是利用等差数列为正，第6项开始为负，故当n=5时，sn最大.

方法2此构造函数的图象是过原点的抛物线.由题意可知该数列公差小于0，所以开口向下，由S9>0，S10<0得抛物线与x轴的另一交点横坐标在（9，10）内，以当n=5时，sn最大.

小结 由此可见利用函数图象，解法直观，一目了然.为学生配套一个练习：等差数列{an}中，a1=25，前n项和为sn，若S9=S17，n为何值时sn最大？相信学生很快就会学以致用，充分体会到数列中函数思想的重要性.因为结合己学的基本初等函数的知识，发现等差、等比数列的通项公式及求前n项和公式的形式与一次函数、二次函数、指数函数存在一定的联系，所以学生运用这些函数的图象就能直观有效地解决某些数列问题.以学生现有的认知水平为依据，不断补充和完善学生的认知结构，才能有效提高学生的数学能力.

4 数列的周期性

案例4 已知数列{an}中，a1=l，a2=5，an+2=an+l-an（n∈N+），则a2008=____.

分析 此类题型一般以选择或填空形式出现，一般采取的方法是先求出数列的通项公式，再求出要求的项.但是此题求通项公式对于很多学生都有难度，转而利用数列周期性，并采用例举一归纳一猜想的方法.由a1=1，a2=5，依次得出a3=4，a4=一1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，所以数列{an}是以6为最小正周期的循环数列，a2008=a334×6+4=a4=-1.周期为6的完整推导过程：由an+2=an+1-a1得an+3=an+2-an+1=（an+1-an）-an+1=-an，利用函数周期性公式f（x+T）=一f（x），则函数f（x）的周期为2T，从而数列{an}的周期6.

小结 对于学生来说做对这个填空题不是问题，因为凭借学生已有的认知能力要做这题首先应该知道周期.当然周期6的由来可能基本是根據例举一归纳—猜想的方法得到，而讲清其推导过程笔者觉得还是很有必要的，使学生能深刻体会到每个结果的由来都是有根据的，有助于培养学生解题的严密性.

5 数列与不等式的综合应用

从2015年浙江高考数学参考试卷看，无论文科还是理科都是在求数列通项及数列求和的常规问题基础上，考察了数列与不等式的综合应用，主要包括解不等式、证明不等式、不等式恒成立问题.解决数列不等式的恒成立问题时函数思想应用是非常突出的，

案例5 已知数列{an}的通项公式an=2n，若bn=an.log2an，且sn是{bn}的前n项和，对任意正整数n，（n+m）.an+1

解 由an=2n得bn=n.2n，

可由错位相减法（过程略）得：

sn=（n-l）·2n+1+2，

不等式（n+m）·an+1

（n+m）·2n+1<（n-1）-2n+l+2，

即m.2n+1<2—2n+l，

当n→+∞时f（n）→一1，

所以f（n）>一1，所以m≤一1.

小结 在学生已有的认知结构中，解决恒成立问题最常见的思路就是分离变量法，所以数列恒成立问题一般解题思路与步骤如下：

（l）分离变量，往往将问题转化为a≥f（n）恒

（2）研究f（n）的单调性.

（3）根据f（n）的单调性求出最值，得到参数范围.

其中研究数列单调性的常见思路前文已有介绍，但是能利用对应函数单调性来考虑数列的单调性的方法更为简洁，充分体现了函数思想在解数列问题中起到了举足轻重的作用.作为一名高中数学教师不仅要教会学生如何解题，更要教会学生解题的思想方法，这样才能让学生举一反三，提高学习的效率.

当然数列作为一种特殊函数是有其特殊之处的，一是其是以N+或其有限子集作为定义域的一类特殊函数，学生经常容易忽略，从而出现会做但答案不正确的现象;二是如案例5中出现的极限的知识，当n→+oo时，f（n）-→1，学生听了有似懂非懂的感觉，对于这个一1到底能否取到不确定，从而答案不够完整.在函数、数列的教学过程中，极限的思想或多或少都有出现，对于极限这块内容怎么处理，老师们也有不同的看法，有些老师认为既然高中数学已经删掉这块内容就不要提出这个概念了.但笔者认为高中数学教师应从学生终身发展需要（尤其是大学教育的需要）的角度出发，以高观点的视角去审视初等数学，才能全方位把握高中数学内容.就如本文用函数思想解决数列问题，就是让学生体会函数思想是高中数学的基本思想，数学内容是相互串联的，它们是自成一体的，学生学习数学的过程就是一个不断发展和完善数学认知结构的过程.

参考文献

[1]李宽珍，注重解题反思，提高思维能力[J].中学数学研究， 2014（8）：9-10

[2]郑良，呈现本质感悟思想渗透策略触摸灵魂[J].中学数学研究，2014（5）：10-11