一类圆锥曲线试题的解法探究
2019-07-16谢盛富
在高三复习课中，笔者充分利用几道圆锥曲线试题进行求解方法的探索，学生收获大，感触颇多，达到了很好的复习效果.
1 试题呈现
设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线，过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则|的方程为_______________.
2 解法探究
本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查化归与转化思想、运算求解能力，逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力.
解法1 利用抛物线定义及平几知识
不妨先设直线，的斜率k>0，且点A在x轴上方，点B在x轴下方.过点A作x轴的垂线，过点B作x轴的平行线，相交于点C.
令|BF|=m，则|AF|=3m，|AB|= 4m.
由定义可知|BC|=2m.
解法2 利用焦点弦公式及结论
说明利用二级结论有助于快速解题，本题还可弦AB的倾斜角）求解.
解法3 利用韦达定理
不妨先设直线，的方程为y=k（x-1）（k>o），且点A（xl，y1）在x轴上方，点B（x1，y2）在x轴下方.
解法4 利用點差法
不妨先设点A（x1，y1）在x轴上方，
点B（x2，y2）在x轴下方.
由|AF|=3|BF|，
有yl=-3y2，x1+3x2=4.
又y2=4x1（1），y22=4x2（2），
（1）-32×（2）得yl2-（3y2）2=4x1-36x2.
把y1=-3y2代入得Xl=9x2·
又x1+3x2=4，解得x1=3，
评述 解法l利用定义、平几知识与数形结合求解，运用定义是解圆锥曲线问题的重要途径;解法2利用焦点弦公式及二级结论，可快速求出答案;解法3采用联立方程组，通过韦达定理消元，也能求出直线的斜率，这是处理直线与圆锥曲线位置关系的通性通法;解法4利用点差法巧妙转化求出其中一个交点坐标，再利用两点坐标求出斜率.从解题本质来看，它们各有特色.
3 变式题组
在课堂上，完成了例题的分析、讲解与剖析之后，给出了变式l与变式2作为课堂练习，变式3作为课后作业完成，意图是通过抛物线过渡到椭圆，再到双曲线，一次次地体验与感悟，使变式探究异常精彩，激发学生的探究兴趣，培养他们的分析问题、解决问题以及探究能力.
变式1 已知直线y=k（x+2）（k>o）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=____.
分析从题干知直线AB没有经过焦点，由定义只能得到点B为线段AP的中点（点P为直线AB与x轴的交点），无法仿照例题的解法l和解法2，因此只能采用解法3和解法4类似求解.
变式2
解法1 利用椭圆的距离定义与余弦定理
椭圆的左焦点为F，连接AF和BF.
令|FB|=m，则|AF|=3m.
由距离定义知|AF'|=2a-3m，
|BF'|=2a-m.
设直线AB的倾斜角为θ，
则∠F'FA=θ，∠BFF=π-θ.
在△FAF中，由余弦定理有：
（2a-3m）2=4c2+9m2-2x2cx3mcosθ，
整理得b2=3m（a-ccosθ）·
同理，在△BFF中有b2=m（a+ccosθ）.
两式消b及m得2ecosθ=1，
评述 利用定义解题是常态，却鲜有想到利用余弦定理求解圆锥曲线问题，笔者曾在文[1]中运用余弦定理求解双曲线的有关问题.此法有一定的计算量，但不失真，易建立离心率与直线倾斜角之间的等量关系.
解法2 利用椭圆的比值定义及比例性质
如图l，令|FB|=m，则|AF|=3m.
评述 利用比值定义，借助比例性质，数形结合巧妙求解，逻辑推理能力要求较强.
解法3 利用椭圆的焦半径公式及弦长公式
设A（xi，yl），B（X2，y2），
由焦半径公式有|AF|=a-ex，|BF|=a-ex2·
又AF=3FB，
评述 利用焦半径公式和弦长公式，设而不求，巧求斜率，言简意赅.
解法4 利用韦达定理
解法5 利用点差法
（解法4和解法5与例题解法3和解法4类似，限于篇幅从略.）
变式3 AF=4FB，则双曲线C的离心率为____.
评述 变式2的5种解法均适合本题，可类似求解.
上述4道试题看似平常，却独具匠心.从多角度切入，既有各自的特点，又有共性的解法，体现“以能力为主”，考查能力与数学素养.通过对这一类试题的解法探究、对比分析与提炼，激发了学生的求知欲，实现学生在课堂的认知参与，培养他们的洞察力与辨析能力，体会到“一题多解”与“多题归一”是不可或缺的，达到增效减负之意图，掌握解决数学问题的本质，让课堂教学真正走向有效课堂，促进学生对数学解题的深度理解，建构知识与方法体系.这样的探究锻炼了学生的解题思维，感受知识与方法的内在联系，形成更清晰的认识与理解，最终把数学核心素养的培养融合于学生的课堂内外.
参考文献
[1]谢盛富，对一道双曲线试题的解法探究与思考[J].福建中学数学，2016（6）：33-35
