引导学生探究培养问题意识提高数学素养

1 教学现状

众所周知，圆锥曲线是中学数学的重点和难点，在高考中始终占据着重要地位.从学生学习的情况来看，圆锥曲线始终是学生比较‘-怕”的内容;很多高三教师对此也颇感困惑，尤其是到了二轮复习，不断地“炒冷饭”，课堂效益低下，学习兴趣不高，学生参与程度低.总之，学生学的辛苦，教师教的痛苦.

2 应对策略

在教学过程中，通过对典型例题的类比、联想、引申进行深入研究，顺藤摸瓜，把局部的、零散的知识点串成线条，形成知识网络，融会贯通，在夯实基础的前提下，引导学生探究问题，培养学生的问题意识，激发学生的思维灵感和创新意识，使知识纵横交错、点面呼应，落实“数学核心素养”的培养.

3 教学案例

引导学生以“问题串”的形式进行复习，可以促进学生的深度学习，从而有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法，加深对数学的理解，提高学生的数学素养.笔者以二轮复习课为例加以说明，与同行探讨、切磋、交流.

3.1 复习知识奠定基础

已知○Ol：X2+y2=r2，

○O2：（x-a）2+（y-b）2=r2，

○O3：X2+y2+Dx+Ey+F=O.

提问学生：

（l）若点M（xo，Yo）在圆上，过点M的切线方程分别为____？

学生l：xox+YoY=r2;

教师：回答正确.

（2）若点M（xo，Yo）在圆外，过点M引圆的两条切线，切点分别为M1，M2，则切点弦（两切点的连线段）所在直线的方程分别为____？

学生2：xox+YoY= r2;

教师：回答得很好.

3.2 类比探究掌握结论

已知椭圆C1：

抛物线C3：y2= 2px.

教师引导学生类比圆的切线得出下列结论（只要求类比，不需证明，因为证明需用到隐函数求导）：

（l）若点M（xo，Yo）分别在曲线Cl，C2，C3上，过点M的切线方程分别为____？

学生3：

.

YoY= p（xo +x）.

（2）若点M（xo，Yo）分别在曲线Cl，C2，C3外，过点M引曲线Cl，C2，C3的两条切线，切点分别为M1，M2，则切点弦（两切点的连线段）所在直线的方程分别为____？

学生4：

.

YoY=p（xo+x）.

教师：以上两位同学回答准确，类比推理掌握得很好. 然后教师引导学生总结一般规律：求在点M（xo，Yo）处的切线方程，只需将曲线方程中的x，y，x2，y2一点M（xo，Yo）分别作曲线的两条切线MM1，MM2，切点分别为M1，M2.类似地，只需将曲线方程中的求切点弦M1M2所在的直线方程.掌握这个一般结论，可以快速准确地解决有关切点弦的问题.

3.3 应用结论实践检验

相交，过直线l上的点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，连接MN.

（l）当点P在直线l上运动时，证明直线MN恒过定点Q;

（2）当MNlll时，定点Q平分线段MN.

解题分析让学生思考十分钟后，提问学生，教师适时点拔.

学生5：证明 （l）设P（xo，Yo），

M（x1，Yi），N（X2， y2），

则椭圆过点M，N的切线方程分别为：

因为切线经过点P（xo，Yo），

所以

切点弦MN所在的直线方程为：

根据点P∈l，可得Yo= xo+b，

代入（3）可得

该式对Vxo∈R恒成立.

（2）当MN///时，

直线MN的斜率为：

.

合.故可得定点Q平分线段MN.

此题是2017年全国高中数学联赛广东赛区选拔赛的第9题.实际上这道题学生只要会类比圆的切线方程得到椭圆的切线方程就不难了.

实际上2013年广东高考理科第20题第（Ⅱ）问就曾考查类似问题.题目如下：

例2已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（O，直线/上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（I）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）当点P（xo，Yo）为直线/上的定点时，求直线AB的方程;

（Ⅲ）当点P在直线，上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.（略）

解题分析易得抛物线c的方程为X2=4y后，学生很快就用刚才的方法求出了直线AB的方程为xox-2y-2Yo=o.此时教师提出还有没有别的方法？

学生6：采用参数法（斜率K为参数），设过点P作抛物线C的切线方程为y-yo=k（x-xo），联立抛物线C的方程，但是运算量太大，几乎算不出.

教师：解题思路虽清晰简单，但运算量大，且不易消元.

此时学生7：设切点坐标A（xi，y1），B（X2，y2），x≠X2，用却X2为参数，切线PA的方程为：

即

因为切线PA，PB经过点P（xo，y。），

故直线AB的方程为xox-2y-2y。=o.

教師：回答得非常棒！解题的关键在于引入参数x1和x2，采用设而不求，整体消元，得到直线AB的方程，大大简化了运算.

教师：当点P（x。，y。）为直线|上的动点时，直线AB是否恒过定点？

学生8：只要将Yo= xo-2代入直线AB的方程xox-2y-2Yo=o，得xo（x-2）-2（y-2）=o对Vxo∈R恒成立，则x-2-0且y-2=0，即x=2，y=2，故直线AB恒过定点（2，2）.

教师：早在2005年高考，江西理科压轴题也曾考查过类似问题（请同学们课后完成）.题目如下：

例3设抛物线C：y=X2的焦点为F，动点P在直线|：x-y-2=0上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.

（l）求△APB的重心G的轨迹方程;

（2）求证：∠PFA= ∠PFB.

3.4 变式拓展深入探究

教师：请看2014年高考广东卷文理第20题：

（l）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点P（xo，Yo）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解题分析学生思考十分钟后提问（当学生卡住时，教师适时点拔）.（过程略）.

（2）设切点分别为A，B，

①当两条切线中有一条斜率不存在时，则两切线分别垂直x轴和y轴，两切点分别为椭圆长轴与短轴的端点，此时点P的坐标为（+3，±2）.

②当两条切线的斜率都存在时，

设过点P的椭圆切线方程为y-Yo= k（x-xo）.

化简得（9k2+4）X2+18k（Yo-kxo）xxc+9[（Yo-kxo）2-4]=0，

依题意得△= [18k（yo-kxo）]2-36（9k2+4）[（y。-kxo）2-4]=0，

化简得（X02-9）k2-2xoY。k+Y02-4=o，

设切线PA，PB的的率分别为k1，k2，

且PA，PB相互垂直，

，

化简得X02+Y02=13（xo≠+3）.

又因为P（+3，±2）满足方程X02+y。2 =13，

故点P的轨迹方程为X2+y2=13.

此时教师应该趁热打铁地引导学生观察得到的点P的轨迹方程有何特征？

学生10：由9+4=13，知点P的轨迹是以椭圆P（xo，yo）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，则点P轨迹方程为X2 +y2= a2 +b2，其

教师：这位同学的观察能力很厉害！这时学生11站起来说：可类比推广到双曲线和抛物线中.

Yo）为双曲线外一点，且点P到双曲线C的两条切线相互垂直，则点P轨迹方程为X2 +y2= a2 +b2，其轨

②设抛物线C： y2=2px（p>o），若点P（xo，Yo）

为抛物线外一点，且点P到抛物线C的两条切线相互垂直，则点P的轨迹是以抛物线的顶点为圆心，

学生Il话未落音，学生12指出①的错误之处.答案应该是：当a2-b2 >0时，点P的轨迹方程为X2+y2为半径的圆;当a2-b2=0时，点P的轨迹是一个点（o，o）;当a2-b2<0时，点P的轨迹不存在.

教师：类比推理的结论不一定正确，需要进行推理论证.此时学生13也发现了②的错误.点P的

教师：两位同学的回答很精准.详细的推理过程留给同学们课后作为作业完成.同学们，刚才探究的问题实际上是蒙日圆问题，即在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.有兴趣的同学可以在课后上网查资料了解有关蒙日圆问题.

4 反思感悟

4.1 关注知识方法，丰富联系有收获

教师系统地把握教材，理解学生，注重联系，在教学设计时关注知识和方法，对知识和方法进行再建构、再完善，选择一些切口小、角度新、针对性强的问题，引导学生开展一系列的探究活动，区别于高三一轮复习，丰富知识和方法间的联系.这样不但教学内容新颖有趣，而且对于学生开拓视野、培养问题意识、提高数学核心素养，都具有提纲挈领的重要作用.

4.2 关注不同层次学生，深度学习成效高

传统的高三二輪复习模式课型设计简单，教师讲得辛苦，学生听得疲劳，忽视了学生的主动性和积极性，课堂效益不高，效果又不好.二轮专题复习课一定要善“变”，不断吸引学生的眼球，换个角度，变个形式，让不同层次的学生都有收获，对数学课有期待.只有学生喜欢数学课才有可能深度参与、深度思考、深度学习，课堂才更有生机和活力.

总之，高三二轮专题复习课的设计和教学实施，既要讲究课堂教学的效率，又要兼顾学生的思维发展.需要设计丰富新颖的教学活动，通过学生经历的探究活动过程获得感受、体验、领悟并由此获得数学知识、方法和情感态度与价值观.教师合理设定专题，恰当选择学习策略，充分发挥学生的主体作用，为学生营造独立思考、自主探究、勇于创新的良好环境，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，从而达到提高高三复习效率，提升学生数学素养的目的.

参考文献

[1]江中伟.巧用变式教学提高教学效率[J].中学数学教学参考，2011（1—2下）：86-87

[2]江中伟，创设系列问题优化思维品质[J].师道：教研，2011（7）：135

（本文为广东省梅州市教育教学研究重点课题《高中数学课堂教学中学生问题意识培养的研究》（课题编号M20901-DBX201）成果之一）