量子光学课程中Jaynes—Cummings模型与前沿科学研究相结合的教学探索

华明

摘 要 量子光学为多种前沿科学研究提供了理论基础，是研究生阶段重要课程之一。Jaynes-Cummings（JC）模型是量子光学中很重要的模型，被广泛应用于描述一个二能级原子和一个单模腔场的相互作用。该模型成立的前提是腔场与二能级原子的耦合强度远小于腔频（）。随着近些年实验技术的发展，被不断增大，单纯JC模型的教学是否能跟得上研究的进展便成为一个问题。我们在这篇文章里数值计算并讨论了是否考虑旋转波近似的单模腔场与二能级原子的共振相互作用。通过在教学中引入前沿科学研究及相关讨论，学生们知道了满足不同量子操作精度所需要的取值范围。这为学生在未来科研中打下坚实基础。

关键词 量子光学 JC模型 教学改革 课堂教学

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.06.043

Teaching Exploration of Combining Jaynes-Cummings Model

with Frontier Scientific Research in Quantum Optics Course

HUA Ming

（School of Physical Science and Technology， Tianjin Polytechnic University， Tianjin 300387）

Abstract Quantum optics provides a theoretical basis for many frontier scientific researches and is one of the important courses in postgraduate stage. Jaynes-Cummings （JC） model is an important model in quantum optics. It is widely used to describe the interaction between a two-level atom and a single-mode cavity field. The premise of the model is that the coupling strength between the cavity field and the two-level atom is much less than the cavity frequency （）. With the development of experimental technology in recent years， has become a question whether the teaching of JC model can keep up with the progress of research. In this paper， we numerically calculate and discuss whether the resonant interaction between a single-mode cavity field and a two-level atom with rotating wave approximation is considered. By introducing frontier scientific research and related discussions into teaching， students know the range of values needed to satisfy different quantum operation accuracy. This will lay a solid foundation for students in future scientific research.

Keywords quantum optics； JC model； teaching reform； classroom teaching

0 前言

Jaynes-Cummings（JC）模型是量子光學[1]课程中的重要理论模型，它描述了一个二能级原子与一个单模腔场的相互作用。该模型成立的前提[2]是腔场与二能级原子的耦合强度要远小于腔频。在早期实验中，由于能实现的原子（或人工原子）与各种谐振腔的耦合强度都较小，[3]所以人们以JC模型为基础给出了大量基于原子（或人工原子）或谐振腔的普适量子逻辑门、量子纠缠以及各种量子操作的构建方案并能很好的指导相关实验的实现。因此，在以前的量子光学教学中人们无需讨论JC模型的适用范围也可以不影响大部分学生未来的科学研究。随着实验技术的发展，谐振腔与人工原子之间的耦合强度逐渐增大。[4]这让基于该系统的各种量子操作的完成时间被大大缩短。但与此同时，由于逐渐接近使得JC模型不再能很好的描述这种系统。这时，我们需要在JC模型的教学中定量的告诉学生该模型的适用范围与耦合强度和腔频之间的关系来指导学生在未来的科研中更准确的使用该模型。

1 JC模型

当一个系统由一个二能级原子和一个单模腔场耦合组成，那么该系统可以由哈密顿量

（） （1）

来描述。其中是腔场中光子的产生湮灭算符。是二能级原子的升降算符。为二能级原子能级间跃迁频率。为单模谐振腔的频率。是原子与腔之间的耦合强度。在弱耦合框架下以及当耦合强度超过腔的泄漏率和原子的退相干率时，人们可以使用旋转波近似忽略掉频率快变项和，从而将哈密顿量约化成为

（） （2）

此即著名的JC模型。但是，当耦合强度增大到一定程度时，快变项不再能被忽略，此时该系统将是否还能很好的被公式（2）所描述就需要看科研人员对该系统的操作准确度[5]的要求。下面我们将在不考虑原子与腔中光子寿命的前提下讨论原子与腔场之间频率共振操作时基于JC模型（）与总哈密顿量（）所给出来的光子在腔中布局的最大概率之间的偏差率随的变化关系。

2 JC模型的适用范围

这里，我们数值模拟二能级原子和单模谐振腔之间的单光子共振操作。模拟中，我们假设系统的初态为| 0〉=|〉 |0〉C。这里|〉 （ |g〉 ）是原子的第一激发态（基态）。| 〉c是腔内光子的Fock态。也就是说在初始时刻t=0时，原子处于第一激发态而腔中没有光子。基于概率的定义[6]（| f〉=|〉 |1〉C）

我们可以通过数值计算分别得到腔中的最大光子数布局概率和，并给出它们之间的偏差率（）随取不同比值的变化关系如图1所示。这里纵轴偏差率的取值范围我们从10-2取到10-5依据的是普适量子计算对单步量子操作错误率的要求。其中错误率10-2指的是容错量子计算所需要的最低要求。10-5指的是利用量子糾错码实现普适量子计算对单步量子操作错误率的最低要求。当然，针对其他科研目的，学生们可以依据此方法将偏差率进一步增大来找到合适的取值范围。从图中我们可以看出，在不考虑系统退相干时间的影响下，单步共振操作的错误率只要满足=0.1即可满足容错量子计算对共振操作的阈值要求。虽然在实验中，系统退相干时间不可能被忽略，但我们也可以通过简单的进一步结合考虑操作时间与系统退相干时间的比率关系来确定JC模型满足的大概范围。

这里我们已假设总哈密顿量能准确描述该系统。不同的实验目的需要不同精度的量子操作，所以有了这个结果，学生们在未来做相关科研时就会根据不同实验目的以及实验参数来决定是否能选择JC模型作为较为准确的理论模型来解释和指导实验。

3 总结

JC模型在量子光学的教学中常被用来描述二能级原子与单模腔场的相互作用的系统，并能很好的让学生们从理论上预测和解释实验结果。随着实验技术的发展，实验参数的选择逐渐使JC模型在某些领域和实验条件下不再能准确解释和指导实验，早期单纯只讲解JC模型的教学已经不能满足现代科学研究的需要。为了让学习量子光学课程的学生在未来科研当中能更准确的使用该模型，我们以原子和腔场共振相互作用为例数值计算了基于JC模型和系统总哈密顿量的单光子在腔中布局的最大概率并给出了这两种概率之间的偏差率 随的变化关系（至于原子和腔场其他种类的相互作用也可以依据此种方法进行讨论）。将此讨论运用到相关教学可以有效弥补早期教学中方法与内容的不足，并为学生未来的科研打下了坚实的基础。

参考文献

[1] M.O.Scully and M.S.Zubairy，Quantum Optics （Cambridge University Press，Cambridge，UK，1997）.

[2] Y.Y.Zhang，Q.H.Chen， and Y.Zhao，Generalized rotating-wave approximation to biased qubit-oscillator systems， Phys.Rev.A 87，033827（2013）.

[3] Z.L.Xiang，S.Ashhab，J.Q.You，and F.Nori，Hybrid quantum circuits： Superconducting circuits interacting with other quantum systems，Rev.Mod.Phys.85，623（2013）.

[4] P.F.Diaz，J.Lisenfeld，D.Marcos，J.J.Garcia-Ripoll，E.Solano，C.J.P.M.Harmans，and J.E.Mooij，Observation of the Bloch-Siegert Shift in a Qubit-Oscillator System in the Ultrastrong Coupling Regime，Phys.Rev.Lett. 105，237001 （2010）.

[5] M.A.Nielsen and I.L.Chuang， Quantum Computation and Quantum Information （Cambridge University Press， Cambridge，UK，2000）.

[6] 曾谨言.量子力学（卷一）[M].北京：科学出版社，2007.