三角函数给式求值问题解题研究

胡硕

[摘   要]三角函数在高中数学中有着不可或缺的地位，但三角函数公式之多、变换之多常常是困扰学生的难题.总结三角函数给式求值问题的解决思路，能帮助学生攻克三角函数的难关.

[关键词]三角函数; 给式求值;转化思想

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-0026-02

解决三角函数问题的方法有很多，尤其是给式求值问题.但学生的解题效率不尽相同.本文通过几道例题的解决方法说明转化思想的重要性.应用转化思想，可将复杂的给式求值问题转化为熟悉的公式和方程组，使解题过程变得简单，从而轻松求解.

一、真题实练

题设是结论的外露，结论是题设的归宿.我们在解决任何数学问题时都不能忽略题设和结论之间的内在联系，三角函数问题也是如此.甚至有些题目将条件等式适当地变换就可以得到答案.因此，在条件和结论之间建立“通道”是解决给式求值问题的一种行之有效的方法.

二、举一反三

上述例题是将所求表达式转化为条件中的公式的运算形式，然而还有另一类问题是直接或间接给出某一三角函数的值，求解复杂多样的公式值.这类题往往条件看起来简洁明了，但求解起来却要焦头烂额.从上面的方法我们自然而然会想到：能不能把复杂多样的函数表达式转化为同名函数来求解呢？事实告诉我们，这是行得通的.只要利用三角函数的性质经过适当的转化，问题就会变成如我们想象的那么容易，而这种转化的最终目标就是将表达式转化为同名函数.

三、触类旁通

既然转化思想在给式求值问题中这么好用，那么我们可以将其转化为熟悉的方程组或不等式问题.说到这儿，问题已经上升一个层面了，能做到这一步的学生对自己的要求绝不仅仅是“做出来”，而是如何“做得快”.对于基础知识扎实的学生来说，在三角函数的问题中，熟记一些常用的不等式往往在解题过程中会收到意想不到的收获，可以使解题变得既简单又快速.

四、综合应用

三角函数中“和积互化”是依赖“积化和差”與“和差化积”八个公式来实现的.近几年来，无论是高考题还是各地的模拟题、竞赛题，需要利用“和积互化”来解决的问题数不胜数，其中就有很多是给式求值类型的.下面，以一道给式求值问题为例分析一下“和积互化”的解题策略.

五、提炼升华

以上介绍了几种三角函数给式求值问题的解题策略，都是从分析条件与结论的关系入手.但值得注意的是，这些解题思路同样适用在三角函数的化简、证明等问题中，学生可以借此进行推广，举一反三.实质上，不论哪一种方法，都是以已知、求证的式子中的角的关系作为切入点，分析它们之间的联系，进行巧妙地转化并运用恰当的数学方法求解.因此，好的解题方法绝不只有这三种，我们平时在解题过程中要多注意对思想方法的积累并对它进行灵活应用，这才是学好数学的关键所在.

（责任编辑   黄桂坚）