借题发挥

母小伟

[摘   要]在平时的备课中，教师预设了很多环节，但学生总会让你“意外”惊喜.教师若能抓住机会，因势利导，适时调整预案，运用好生成的教学资源，就能让课堂教学活起来.

[关键词]借题发挥;数学课堂;教学资源

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-0013-03

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者.数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生进行创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.在平时的备课中，教师会对课堂有不同的“预设”，在课堂中将“预设”转化为实际的教学活动.在这个过程中，教师与学生的互动往往会“生成”一些新的教学资源，而且这些“生成”的新的教学资源，有些是在意料之外的，这时候我们要及时抓住机会，因势利导，适时调整预案，让教学活动收到更好的效果.

比如，在教学《等边三角形》中“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一定理时，“预设”节外生枝，“生成”了以前教学中未曾出现的资源，于是我鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，收到了意想不到的效果.现将当时的教学过程整理成文，以期与同行交流.

一、教学过程

出示题目：如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，求证：BC=[12]AB.

活动一：学生独立思考并完成证明过程，然后小组互相交流.

活动二：学生分享思路，追问：①怎么想的？②为什么这样想？

活动三：①你是否还有别的证明方法呢？②你是如何想到的？③为什么这样想？

活动四：学生完善自己的证明过程，教师查看.

经过前面的观测、实验度量、猜测结论等，学生很容易得到如下解法：

解法1：如图2，延长BC至点D，使得BC = CD，连接AD.因为∠ACB= 90°，所以∠ACD =90°，因此∠ACB = ∠ACD，AC = AC，BC = CD，所以△ABC [≌]△ADC，AB = AD;因为∠B = 60°，所以△ABD是等边三角形，则AB=BD=2BC，即BC = [12] AB.

思路分析：课本中的探究活动“如图3，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？”根据这个探究活动，学生很容易找到命题的证明方法，构造等边三角形ABD.

解法2：如图4，截取CD=AD（或BD=BC或BD=CD），我们把这几个归为一类，详细讲解其中一种.因为AD=CD，所以∠A=∠ACD=30°.根据“三角形的外角等于不相邻两个内角的和”，有∠BDC=∠A+∠ACD=60°，所以△BCD是等边三角形，则BD=BC=CD=AD，所以BC=[12]AB.

思路分析：学生说跟上一种解法一样，这里是截长补短，截取CD=AD，要证明BC=[12]AB，只需要证明AD=BD或AD=BC即可.这也是我们平常教学作辅助线时较为常见的一种方法.由于在证明命题之前，学生就已经有相类似的操作以及平时强调很多次的辅助线的作法，因此学生很容易就想到这种证明方法.

追问1：①是否还有别的证明方法呢？②你是如何想到的？③為什么这样想？鼓励学生积极思考，很快学生就得出了下面的解法.

解法3：如图5，作AC的垂直平分线交AB边于点E，交AC边于点D，连接EC，根据垂直平分线的性质容易得知AE=EC，所以∠A=∠ACE=30°.

根据“三角形的外角等于不相邻两个内角的和”，有∠BEC =∠A+∠ ACE= 60°，故△BEC是等边三角形，有BE = CE = BC = AE，所以BC = [12] AB.

解法4：如图6，作AB边的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D，连接BD.

根据垂直平分线的性质可得AE= BE，AD = BD，所以∠A=∠ABD =30°，所以∠DBC =30°， BD=BD， ∠EBD=∠DBC=30°，∠DEB =∠C = 90°。故△BDE ≌△BDC， BC = BE， AE = BE =BC， BC = [12] AB.

解法5：如图7，作BC边的垂直平分线DE，交AB、BC于点E、D，所以BE=CE，△BEC为等边三角形， BC=BE=CE，∠B=∠BEC=60°.

根据“三角形的外角等于不相邻两个内角的和”，所以∠BEC=∠A+∠ACE=60°，∠A=∠ACE=30°，AE=CE， AE=CE=BE=BC， BC=[12]AB.

思路分析：利用轴对称知识，作AC（AB、BC）边的垂直平分线，这样就构造了一个等腰三角形和等边三角形，这种解法与解法2有点类似.虽然在课中，学生没能一下子想到这三种解法，当得出其中一种解法后，学生通过类比就很容易得出其他两种解法.这三种解法也是在意料之中，因为最近都是在学“轴对称”知识，所以学生也比较容易想到.

追问2：①是否还有别的证明方法呢？②你是如何想到的？③为什么这样想？

学生一时半会也没有想出什么解法，而且我备课时也就预设了上述五种解法.我还是想看看学生能不能再有其他解法，于是说：“你们的师哥师姐可以提出七八种解法，你们才提出五种，我觉得你们比他们聪明，肯定还可以提更多的解法的.”这么一激励，学生就开始互相讨论，参与度很高，新提出的解法虽有与前面相重复的，但也有在我的“意料”之外的解法.现总结如下：

解法6：如图8，过点A作AD∥BC，且AD=BC，因为AD∥BC，所以∠DAC+∠ACB=180°，∠DAC=∠ACB=90°，AD=BC，AC=AC，所以△ABC≌△CDA，∠D=∠B=60°，∠ACD=∠BAC=30°.易得△ADE和△BEC为等边三角形，根据AD=BC可得AD=AE=DE=BE=BC=CE，所以BC=[12]AB.

解法7：如图9，作BD∥AC，且BD=AC，连接CD，因为BD∥AC，所以∠DBC+∠ACB=180°，∠DBC=∠ACB=90°，BD=AC，BC=BC，所以△ABC ≌△DCB，∠DCB=∠ABC=60°，△EBC为等边三角形，∠BEC=60°.

根据“三角形的外角等于不相邻两个内角的和”可知∠BEC=∠A+∠ACE=60°，所以∠A=∠ACE=30°，AE=CE，所以AE=CE=BE=BC，故BC=[12]AB.

解法8：如图10，过点A作AE∥BC，AE=AB，连接BE，过点E作ED⊥AB，交AB于D点，所以∠EAB = 60°，AB=AE，∠EDA=∠C=90°，∠EAB=∠ABC=60°，所以△ABC≌△EAD，AD=BC，△ABE是等边三角形，所以AE=BE，ED⊥AB，AD=BD， AB=2AD，即BC=[12]AB.

思路分析：以上解法都是构造一个三角形与△ABC全等，这样题目中会出现一个等边三角形和一个等腰三角形，再通过等量转化进而求得结论.学生是通过类比的思想得到解法.解法一（截长补短法）是构造一个全等三角形，所以改变解法一中的三角形的位置，进而小心求证，这种类比的做法确实超出我的“意料”.

解法9：如图11，延长CB至点D，使得CB=BD，连接AD，作CE∥AB，且CE=AB，连接BE、DE，因为CE∥AB，所以∠ABC =∠ECB = 60°，BC = BC，所以△ABC ≌△ECB，∠ACB =∠EBC=90°，BE垂直平分CD， DE=EC，所以△DEC为等边三角形， EC=CD=2BC，故BC=[12]AB.

思路分析：要证明BC=[12]AB，没有什么模型适用于这道题，AB与CD在题目中没有关系，所以我们要将AB与CD联系上.

不改变线段AB的大小，而可以改变AB的位置，只有用平移、轴对称等方法.这里选择使用平移，因为刚好可以构成一个△DCE，而且△DCE正好是等边三角形.

接下来就与解法1一样了，实在是超出我的想象，不得不佩服学生的奇思妙想.

受到解法9的影响，学生又类比解法4、解法7，在图形右侧作了一个一模一样的全等三角形.

解法10：如图12，延长BC，在BC的延长线上作一个全等三角形△DCE，连接BD交AC于点E，根据这个图形，学生无法证明结论.

追问学生：为什么这样的图形无法证明呢？学生回答：破坏了60°的角，无法构造出一个等边三角形或等腰三角形.

二、总结

通过对命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明，产生了多种解法.学生反映最容易想到的是解法2和解法1，其次才是其他的解法，难易程度基本上与我们解法出现的顺序一样，没有一下子就出现解法9、解法10.在解题过程中，教师立足于学生已有的经验和最近发展区，符合学生的常规思维和认知规律.解法9与解法10更像是为了作辅助线而作辅助线，难度较大，不容易想到，不太适合我们平时的解题训练.如果为了增加思维的深度与广度，可以进行这样的研究探讨.

在解题的过程中，教师更注重“为什么这么想”“如何想到”“失败的原因是什么”等.在这个命题中，利用60°的角，作辅助线构造等边三角形和等腰三角形，这就充分利用“轴对称、等腰三角形、等边三角形”等知识.解法10无法进行的原因是破坏了60°角，无法构造等边三角形和等腰三角形.这里给我们启示：在解题的过程中，遇到无法解答的题目，恰好题目中有60°或30°，可以构造等边三角形和等腰三角形来思考，同时辅助线的作用是努力促使已知与未知进行转化与沟通，通过构造新的几何图形，再应用新图形的相关性质解题.常用方法有构造出线段和角，新的三角形，直角三角形，等腰三角形，等等.

三、反思

1.提高学生的学习兴趣和课堂参与度

通过各种活动和手段，提高学生的兴趣，将枯燥的内容变得丰富多彩，这样学生的注意力就会集中在课堂上.只有注意力在课堂上，学生才能吸收数学知识，才能领略数学的美.这样学习才更有兴趣和动力.

2.将培养学生的推理能力融入平时教学中

初中数学的很多知识都是先合情推理然后再演绎推理.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论.仔细审题，注重分析，善于转化，总能找到解题的思路.许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地应用已知条件，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略.构造图形、构造方程、构造函数、构造反比例是常用的构造方法.为了能成功地应用构造法，解题者必须成为一个“建筑师”，一方面应当记住手中的“建筑材料”，即已知条件提供的信息;另一方面，也不要忘记我们要建造的“建筑”，即符合命题要求的事物.

3.“放”是为了更好的“收”

在遇到一题多解或者开放性的题目时，我们可以适当放开，让学生尽情地沉浸在各种解法之中，这样有助于提高学生的思维宽度和广度.当情况讨论得差不多时，或者无法进行下去时，我们就要收了，及时总结、反思，让学生思考为什么要这样想，我要怎样才能想到.

4.合理利用生成性资源

在平时的备课中，我们预设了很多环节，但学生总会让你“意外”惊喜.对于课堂的生成性资源，更是一个绝佳的机会，可先让学生思考为什么这么想，你是怎么想到的，然后再告诉学生对错，并告诉学生“为什么对或为什么错”.对了，我们要如何才能想到;错了，我们要如何避免再犯错.不仅要教会学生如何审题和寻找解题思路，还要教学生“怎样想”，进而让学生学会“追根溯源”.

[  参   考   文   献  ]

[1]  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，  2012.

[2]  刘华为.从教“怎样做”到教“怎樣想”[J].中学数学教学参考，2016（17）：26-28.

（责任编辑   黄桂坚）