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不畏浮云遮望眼 只因“背景”在心中—探究一道圆锥曲线小题的命制背景

2019-07-12广东省广州大学附属中学510006陈经纬

中学数学研究(广东) 2019年11期
关键词:平方和命制双曲线

广东省广州大学附属中学(510006) 陈经纬

关键字 背景;蒙日圆;切线

数学教学离不开解题教学,通过解题教学能使学生加深对概念的理解和方法的运用,促进思维能力的提升.在解题教学中,教师仅仅展示解题过程和结果是不够的,要深刻地分析试题的命制背景,只有把“背景”讲透了,才能让学生居高临下看问题,实现解题能力实质性的突破,本文以一道圆锥曲线小题为例,探究试题的命制背景.

一、问题的提出

题目如图1, 椭圆圆O : x2+ y2= a2+ 4, 椭圆C 的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M,N 两点,若|PF1|·|PF2|=6,则|PM|·|PN|的值为____.

图1

图2

解设圆O 的半径为R, 则|PM| · |PN| = (R -|OP|)(R+|OP|)=R2-|OP|2=a2+4-|OP|2,将焦点三角形△PF1F2补成平行四边形PF1QF2, 再利用人教版必修4 课本109 页结论: 平行四边形对角线平方和等于一组邻边平方和的2 倍.4|PO|2+|F1F2|2= 2(|PF1|2+|PF2|2),易得|PO|2=a2-2,所以|PM|·|PN|=6.

我们发现本题中|PM|·|PN| = |PF1|·|PF2|,这是一个巧合,还是一种必然? 是任意一个椭圆和圆都有这样的关系吗?

二、问题的探究

探究1如图3,椭圆圆O : x2+y2= r2(r >0), 椭圆C 的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M,N 两点,若|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|,则r2的值为____.

根据平行四边形对角线平方和等于一组邻边平方和的2 倍的结论,易得

所以

由于|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|,根据① ②得r2=a2+b2.

通过探究1 发现,在椭圆中只有x2+y2=a2+b2的圆才具有这样的性质,我们知道圆锥曲线具有“家族特征”,在双曲线中是否存在这样的圆,具有类似的结论呢? 答案是肯定的.

图3

图4

探究2如图4,双曲线圆O : x2+y2= r2(r >0),双曲线C 的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M,N两点,若|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|,则r2的值为____.

根据平行四边形对角线平方和等于一组邻边平方和的2 倍的结论,易得

所以

由于|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|,根据① ②得r2=a2-b2.

通过探究2 发现,在双曲线中存在圆x2+y2= a2-b2(a >b >0)具有这样的性质.

三、蒙日圆

从以上探究的结果可以看出,椭圆与双曲线都存在这样的一个圆,这个圆叫蒙日圆.这道圆锥曲线小题就是以蒙日圆为背景来命制的,蒙日是一名数学家,其生平简介可参见《数学2·必修》.

定理1过椭圆上任意不同两点A、B 作椭圆的切线,若切线垂直且相交于P,则动点P 的轨迹为圆x2+y2=a2+b2,该圆称为椭圆的蒙日圆.

证明①当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0 时,可得点P 的坐标为(±a,±b).②当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0 时,设点P 的坐标是(x0,y0)(x0±a 且y0±b),则过点P 的切线方程y-y0=k(x-x0)(k0).由

根据Δ=0 得

因为kPA,kPB是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以kPA·kPB=结合① ②得动点P 的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.

定理2过双曲线上任意不同两点A、B 作双曲线的切线,若切线垂直且相交于P,则动点P 的轨迹为圆x2+y2=a2-b2,该圆称为双曲线的蒙日圆.

证法同椭圆的证法类似,留给读者自己证明.

定理3抛物线y2= 2px(p >0)上任意不同两点A、B作抛物线的切线,若切线垂直且相交于P,则点P 的轨迹是该抛物线的准线.

证明根据题意知道两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0, 设点P (x0,y0), 则过点P 的切线方程y-y0=k(x-x0).由

由Δ=0 得

因为kPA,kPB是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以所以动点P 的轨迹为准线

在抛物线上并不存在蒙日圆,其实蒙日圆对于我们来讲并不陌生,地方卷中曾经出现过它的身影,广大考生在备考中肯定“邂逅”过,只是没有引起注意和重视.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2) 若动点P (x0,y0) 为椭圆C 外一点, 且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直, 求点P 轨迹方程.答案: (1)(2)x2+y2=13.

四、启示

数学解题教学的核心思想就是引导学生把困难的、不熟悉的问题转化成容易的、熟悉的问题来解决.所谓学生熟悉的问题,除了熟悉解题的方法和策略外,重要的一环就是熟悉试题命制背景,由于高考试题都是原创题,学生若不熟悉题目的相关背景,特别是难题,会有一种莫名的“距离感”,解题时需要不断地尝试才能得到结果,时间成本很高,只有在解题教学时把每一道题的“背景”讲透了,应试时学生才会有心理优越感,才能居高临下看问题,才能准确领会命题者的意图,将问题快速解决.这就呼吁我们一线教师在解题教学时不能就事论事,要重视试题创作背景的讲解,让学生通过少量题目的训练达到掌握解决一类问题的策略和方法,避免题海,回归本质.

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