例析导数中常见错误及应对策略

易文峰

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2019）22-0161-02

导数是高中数学新课程中新增加的重点内容之一，是以函数为载体考查函数的重要性质，特别是在求曲线的切线方程，探究函数的单调性与极、最值等问题方面能给解题带来不少便捷。刚好这段时间我们在学习《导数及其应用》章节，在批改作业时发现诸多因理解不周而导致的错误。下面列举出几种常见的错误，通过分析致错原因以及应对策略，希望能对同学们有所帮助。

1.对导数的定义理解不周致误

例1、已知函数f（x）在点x0处的导数为m，则lim△x→0f（x0-△x）-f（x0）△x=.

错解：m

错因分析：对导数定义里“增量”理解不周导致，由“增量”含义可知：（x0-△x）-x0=-△x，

正解：因为lim△x→0f（x0-△x）-f（x0）△x=-lim-△x→0f（x0-△x）-f（x0）-△x = -m

应对策略：其实定义中的“增量”是一个整体思想，自变量的增量从函数值的 “增量”中△y=f（x0-3△x）-f（x0）可以知道为-3△x，

如：f′（x0）=lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x=lim-n△x→0f（x0-n△x）-f（x0）-n△x（其中n为常数）

练习：已知函数f（x）在点x0处的导数为m，

则 =lim△x→0f（x0+3△x）-f（x0-4△x）△x=.

2.对导数的几何意义理解不周致误

例2、已知曲线f（x）=2x2+3，求过点p（2，9）处的切线方程。

错解：由导数的几何意义可知切线的斜率k=f′（2）=8，所以切線方程为：y-9=8（x-2），化简得切线方程为：8x-y-7=0

错因分析：误以为P点为切点，对导数几何意义理解不周所致。对于这种题型首先要验证已知点是否在曲线上，然后确定该点是否为切点？

正解：易知P点不在曲线上，设切点坐标为（x0，y0），由导数几何意义知切线的斜率k=f′（x0）=4x0，故切线方程为：y-2x20-3=4x0（x-x0），因切线过点P（2，9），所以：9-2x20-3=4x0（2-x0），求得x0=3或x0=1，故过P点的切线方程是4x-y+1=0或12x-y-15=0.

应对策略：①先确定点的位置，并确定该点是否是切点？若是，则切线的斜率即为导函数在切点横坐标处的导数值，反之先设切点坐标（x0，y0），② 求k=f′（x0），写出切线方程：y-y0=f′（x0）（x-x0），再把已知点的坐标代入此方程求出x0的值，即可求出切线方程。

练习：求曲线y=x3-x+3过点（1，3）处的切线方程。

3.对复合函数概念理解不周致误

例3、已知曲线f（x）=xe1-x在点（1，1）处的切线平行直线ax+y-1=0，则实数a的值为。

错解：f′（x）=e1-x+xe1-x ， 由导数几何意义知：切线斜率k=f′（1）=2，

故a=-2.

错因分析：对复合函数概念理解不周，其中y=e1-x是复合函数，其导函数是 -e1-x.

正解：由f′（x）=e1-x-xe1-x，故k=f′（1）=0，所以a=0.

应对策略：当遇到复合函数y=f（g（x））求导时，可先将复合函数拆分成两个基本函数y=f（u），u=g（x），则y′x=y′u·u′x，即可准确地求出复合函数的导函数。

练习：已知直线y=kx+b是曲线y=lnx+2和y=ln（x+1）的公切线，求实数b的值。

4.忽视函数定义域致误

例4、求函数f（x）=lnx+x22的单调区间

错解：f′（x）=1x+x=x2+1x，故f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（-∞，0）

错因分析：忽视了函数的单调区间与其定义域之间的被包含与包含的关系，定义域是函数的存在域。求函数单调区间的步骤是：①求定义域，②求导数，并求解f′（x）≥0或f′（x）≤0的解集，同时验证使f′（x）=0的x值是否是有限个，③找出解集与定义域的公共解集，写成区间即为相应的单调区间。

正解：单调递增区间为（0，+∞）。

应对策略：当遇到用导数求单调区间问题时，严格按照求函数单调区间的步骤，特别不能忘记定义域。

练习：函数f（x）=2xx+1的单调区间是（ ）

A.在R上是单调递增

B.在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增

C.在（-∞，-1）∪（-1，+∞，）上单调递增

D.在R上单调递减

5.对导数与单调性关系理解不周致误

例5、已知函数f（x）=2-ax2在（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围。

错解：f′（x）=2ax3，且f′（x）=2ax3≥0在（0，+∞）内恒成立，所以2a≥0，即a≥0即为所求。

错因分析：f′（x）>0或f′（x）<0是函数f（x）在相应区间上单调递增或单调递减的充分不必要条件；而f′（x）≥0或f′（x）≤0f（x）在相应区间上单调递增或单调递减，但必须满足使得f′（x）=0的x值为有限个。若f′（x）=0恒成立，则函数f（x）为常函数，而常函数无单调性可言。

正解：由f′（x）=2ax3易知：当a=0时有f′（x）=0，但此时函数f（x）=2为常函数，故a>0即为所求。

应对策略：一般地，如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（递减），则等价于不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间[a，b]上恒成立，然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围。在利用这种方法求解时，还要注意，得到参数取值范围后，要检验端点处的参数值能否使f′（x）恒等于0？若恒等于0，则应舍去这个端点值，若f′（x）不恒等于0，则其符合题意。

练习：1.已知函数f（x）=x3+ax2+3x-1（a>0），若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围。

2.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1没有极值，则实数a的取值范围（ ）

A.-36 D.a≤-3或a≥6

6.对导数与极、最值关系理解不周致误

例6、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）=（ ）

A.11或18 B. 11 C. 18 D.17或18

错解：f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（1）=0且f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=0，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，代入f（x）即可求得f（2）=11或18，故选A.

错因分析：对于可导函数而言，导数为0的点不一定是极值点，但极值点的导数肯定为0.函数f（x）在x=x0处取到极值的充要条件是：①f′（x0）=0，②在x=x0左右俩侧的导数值的符号相反。显然错解的原因只考虑了满足条件①。

正解：明显当a=-3，b=3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知在x=1的左右导数都有f′（x）>0，即函数f（x）在R上是单调递增的，因此f（x）在x=1处并不存在极值，故a=4，b=-11符合条件，故选C.

应对策略：f′（x0）=0是x0为极值点的必要不充分条件，对于给出函数极大（小）值的条件，一定既要考虑f′（x0）=0，又要考虑检验是否符合左右导数符号异号的条件。

练习：求函数f（x）=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。