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求解Rosenau-KdV-RLW方程的线性化差分算法

2019-07-11李佳佳胡劲松

关键词:将式边值问题线性化

李佳佳,王 希,张 虹,胡劲松

(西华大学理学院, 四川 成都 610039)

本文考虑如下一类Rosenau-KdV-RLW方程[1-3]的初边值问题:

ut-uxxt+uxxxxt+ux+uxxx+uux=0,x∈(xL,xR),t∈(0,T]

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,uxx(xL,t)=uxx(xR,t)=0,t∈[0,T]

(3)

其中:u0(x)是一个已知的光滑函数。Rosenau-KdV方程[4-5]和Rosenau-RLW方程[6-7]经常用于描述紧离散系统。方程(1)在许多工程物理领域都有着广泛的应用,因此引起了众多学者关注。但这类方程很少有解析解,因此其数值研究具有重要的理论价值和实际意义。

由于线性化差分格式在计算过程中不需要迭代,从而比较节约计算时间。文献[8]对方程(1)提出了一个非线性守恒差分格式,但其数值计算需要迭代,耗费时间;文献[3]对方程(1)的广义形式进行了数值研究,本文对问题(1)—(3)提出一个新的具有二阶理论精度的三层线性化差分格式,运用离散泛函分析方法,证明了该格式的收敛性和稳定性。

1 差分格式及其可解性

对问题(1)—(3)考虑如下有限差分格式:

(4)

(5)

(6)

定理1.1若时间步长τ充分小,则差分格式(4)—(6)是唯一可解的。

证明用数学归纳法。显然U0是由初值条件式(5)唯一确定的,再用两层差分格式[10]计算出U1(即U0和U1是被唯一确定的),假设Un(n≤N-1)是唯一可解的则

‖Un-1‖∞≤C,‖Un‖∞≤C

(7)

考虑方程(4)中的Un+1,有

(8)

将式(8)与Un+1作内积,由(6)、(7)式和分部求和公式[11]及引理1.1,有

(9)

(10)

将式(10)代入式(9),整理有

2 差分格式收敛性和稳定性

差分格式(4)—(6)的截断误差定义如下:

(11)

由Taylor展开,可知,当h,τ→0时,

(12)

引理2.1[10]设u0∈H2,则初边值问题(1)—(3)的解满足:

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C, ‖uxx‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C, ‖ux‖L∞≤C。

定理2.1 设u0∈H2,若时间步长τ和空间步长h充分小,则差分格式(4)—(6)的解Un以‖·‖∞收敛到初边值问题(1)—(3)的解,且收敛阶为O(τ2+h2)。

(13)

由引理2.1以及式(12)知,存在与τ和h无关的常数Cu和Cr,使得

‖un‖∞≤Cu;‖rn‖∞≤Cr(τ2+h2),n=1,2,…,N

(14)

由初值条件(5)可得到以下估计式:

‖e0‖=0,‖U0‖∞≤Cu

(15)

再用具有二阶精度的两层差分格式[10]先计算U1,即可得到以下估计式:

(16)

这里C1为与τ和h无关的常数。

现在假设

(17)

其中Cl为与τ和h无关的常数。则由离散Sobolev不等式[11]和Cauchy-Schwarz不等式,有

(18)

(19)

整理得

(20)

由引理2.1以及微分中值定理,有

(21)

再取τ和h充分小,使

(22)

于是,由式(19)、(21)、(22)和引理1.1及Cauchy-Schwarz不等式有

(23)

(24)

(25)

将式(23)—(25)代入式(20),整理得

(26)

将式(26)从1到n递推求和,并整理有

(27)

(28)

将式(16)、(28)代入式(27),利用离散Gronwall不等式[11],取时间步长τ充分小以满足:

于是有

(Cn+1)2(τ2+h2)2(n=1,2,…,N-1)

其中

显然Cn+1为与n无关的常数。从而由归纳假设有

最后由离散Sobolev不等式[11],有

‖en‖∞≤O(τ2+h2),(n=1,2,…,N)

定理2.2 在定理2.1的条件下,差分格式(4)—(6)的解Un以‖·‖∞关于初值无条件稳定。

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