基于变权新息协方差的自适应卡尔曼滤波器
2019-07-11朱文超
朱文超, 何 飞
(1.中国电子科技集团公司第三十八研究所, 安徽 合肥 230041; 2.中国科学技术大学, 安徽 合肥 230027;3.中国科学院合肥智能机械研究所, 安徽 合肥 230031)
卡尔曼(Kalman)滤波器具有实时性高、数据存储量小、估计精度高等特点,已广泛运用于数字信号处理、故障联合诊断、目标跟踪等领域[1]。然而,传统Kalman滤波器依赖于系统模型的准确性,当状态参数发生扰动时,通常无法精确跟踪系统突变状态,严重时会发生发散现象[2]。针对这一问题,文献[3-4]针对SINS/DVL组合导航系统,利用Sage-Husa估计原理确定量测新息协方差的取值准则,并实时解算渐消因子,调整预测协方差。文献[5-6]将强跟踪思想融入自适应容积Kalman滤波器,提升其鲁棒特性,解决因船舶及飞行器运动模型偏差导致滤波精确度下降的问题。文献[7-8] 在强跟踪滤波器中引入了限定记忆理论,形成区间Kalman滤波器,通过渐消因子修正滤波增益,增强跟踪突变状态的能力。文献[9]利用交互多模型算法与衰减记忆Kalman滤波,实时更新衰减因子,调整滤波增益,并成功运用于预警机运动跟踪领域。文献[10] 基于模糊控制理论模型,动态调整弱化因子与渐消因子,膨胀量测新息,降低估计误差,并成功应用于GPS定位解算领域中。
然而,上述研究均未对状态突变程度进行分层,致使状态收敛速度慢。为解决该问题,本文在滤波发散判据的基础上,梳理储备系数与量测新息协方差的关系,对状态突变程度进行划分,针对不同幅度的状态突变,利用变权新息协方差求解渐消因子,提升了估计精度,能实时跟踪系统突变状态。
1 Kalman滤波
1.1 线性离散时间系统
k历元下,线性离散时间系统状态方程和量测方程可表示为
Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk,k-1Uk-1+Ψk,k-1Wk-1
(1)
Zk=HkXk+Vk
(2)
式中:Xk是m维状态向量;Φk,k-1是m×m维k-1历元过渡至k历元的状态转移矩阵;Uk-1是p维输入控制量;Γk,k-1是m×p维控制输入系数矩阵;Wk-1是q维系统过程噪声序列;Ψk,k-1是m×q维过程噪声系数矩阵;Zk是j维量测向量;Hk是j×m维量测系数矩阵;Vk是j维系统量测噪声序列。
1.2 传统Kalman滤波鲁棒性分析
假设状态扰动(控制参数突变、噪声统计特性变化等)于k历元加载至稳态系统,则真实状态将发生突变,突变信息首先表现在量测新息,作用于状态模型中的系数矩阵,如扰动方程(3)中ΔΦk,k-1、ΔΓk,k-1、ΔΨk,k-1。若仍依靠旧模型进行状态估计,则必然产生较大的偏差。然而,稳态系统的滤波增益为定值,无法实时增权量测新息,估计量将逐渐偏离真实值,最终发散。
Xk=(Φk,k-1+ΔΦk,k-1)Xk-1+(Γk,k-1+ΔΓk,k-1)Uk-1+
(Ψk,k-1+ΔΨk,k-1)Wk-1
(3)
精确跟踪系统突变状态,避免滤波发散的方法有2种:1)研究扰动参数特性,构建精确的数学模型,获取准确预测估计;2)实时激活滤波增益,在状态扰动环境下,增权量测新息。
然而,扰动种类繁多,特性复杂,难以准确建立数学模型。本文在分析状态突变程度的基础上,综合考虑跟踪精度及算法时耗,利用变权量测新息协方差解算渐消因子,激活滤波增益,增权量测新息,实时精确跟踪系统突变状态。
2 自适应Kalman滤波
2.1 自适应Kalman递推公式
在传统Kalman滤波的基础上,引入渐消因子λk优化预测估计协方差,结合线性离散时间系统模型,获取自适应Kalman滤波递推公式。
1)状态预测。
状态预测估计
(4)
预测估计协方差
(5)
2)观测更新。
量测新息
(6)
滤波增益
(7)
最优估计
(8)
后验协方差
(9)
式中:Qk-1、Rk分别为过程噪声Wk-1与量测噪声Vk的协方差矩阵。
2.2 渐消因子解算
线性最优Kalman滤波最重要的一个特点是当滤波增益最优时,量测新息序列Yk处处正交。自相关函数[12]可表示为
(10)
式中:Ck为量测新息协方差矩阵,上标opt代表最优矩阵。
依据Kalman滤波递推公式,化简式(10),为
(11)
(12)
(13)
式中:上标base代表传统Kalman滤波器产生的协方差矩阵。
(14)
(15)
联立式(12)、式(14)、式(15)进行矩阵的迹运算,获取λk的函数解析式
(16)
(17)
(18)
式中:ξk-j为各历元新息协方差权值;bk为k历元下的突变程度系数;[N/μ0]为取整函数。
(19)
(20)
综合式(16)—(20),获取渐消因子λk的三段式函数模型,即
(21)
3 试验验证
本文以中科院智能机械研究所自行研制的双E型弹性体六维力传感器为研究对象,在静态标定环境下,研究传统Kalman滤波器(traditional Kalman filter,TKF)、抗差Kalman滤波器[15](robust Kalman filter,RKF)、自适应Kalman滤波器(adaptive Kalman filter,AKF)的鲁棒特性。
六维力传感器标定实验台如图1所示。依次从Fz方向标定数据库中抽取恒载、卸载、加载3种控制方式的量测数据进行分析。其中:恒载输出的理论值为25 mV;卸载输出的理论值为10 mV;加载输出的理论值为60 mV。取限定记忆窗口长度N=8;储备系数μ0=2。假设前47历元,传感器持续进行恒载输出,第48历元时,分别进行卸载或加载操作,状态将产生不同程度的突变,理想突变趋势如图2所示。由于系统状态突变的原因为传感器载荷变化,即输入控制发生变化,故k历元下的扰动方程(3)可化为式(22),分别利用TKF、RKF、AKF对量测值进行滤波处理,结果如图3—7所示。
Xk=Xk-1+(Uk-1+ΔUk-1)+Wk-1
(22)
图 1 六维力传感器标定实验台
图 2 理想状态突变信号
图 3 恒载至卸载3种算法跟踪效果
图3—5反映了恒载转变至卸载环境下,3种算法的跟踪效果。从图4中可以看出,前47历元,系统处于稳态环境,AKF与RKF均退化为TKF。3种算法状态收敛速度与估计精度均相同。
系统状态在第48历元发生突变,TKF算法逐渐偏离真实状态,后验误差无限增大,如图3所示。反观AKF与RKF,两者均能有效地跟踪系统突变状态。由于状态突变程度较浅,故AKF采用均权新息协方差求解λk。此时AKF退化为RKF,两者估计性能相同,如图5所示。
图 4 恒载3种算法跟踪效果
图 5 卸载后RKF与AKF跟踪效果
图6—7反映了恒载转变至加载环境下,3种算法的跟踪效果。系统状态在第48历元突变,TKF滤波发散。RKF利用均权渐消因子增权量测信息,有效跟踪突变状态。然而,AKF调整了各历元新息协方差的权值,在保证平滑性的同时,深层次利用当前量测新息跟踪状态,滤波性能优于RKF。尤其在第78历元至第100历元阶段,AKF状态收敛速度优于RKF。从表1中可以看出,相较于RKF,AKF稳态精度提升了42.05%
图 6 恒载至加载3种算法跟踪效果
图 7 加载后RKF与AKF跟踪效果
滤波算法突变后误差精度提升RKFAKF2.645 21.532 9—42.05%
4 结论
为解决传统Kalman滤波无法精确跟踪系统突变状态的问题,设计了自适应Kalman滤波器,针对不同的状态突变程度,采用变权新息协方差求解渐消因子,实时激活滤波增益,增权量测新息。实验表明,所述自适应Kalman滤波器具有较强健的鲁棒性,稳态精度优于抗差Kalman滤波。然而,本文仅分析了标量渐消因子的求解方法,对于多维渐消因子的优化策略,还有待于进一步深入研究。