理论背景及应用在高中数学教学中的提升作用

邹司伟

[摘  要] 理论背景及应用为高中数学课程“教什么”和“怎么教”提供了新的方向. 教师在授课中，有针对性地引入数学概念的发展历史，适当穿插理论背景及应用的讲解，能够加深学生对概念的理解和对数学学科价值的认识，激发学生的好奇心和求知欲. 文章结合教学实际引导学生从理论背景中寻找解题思路、寻找知识点之间的联系、寻找数学的思想方法三个方面入手，探讨如何让学生在更深层面上理解数学科学，构建起思想层面上的数学观念.

[关键词] 数学;理论背景;提升

随着新课改的深入，新的教学方式、教学理念不断引入到教学活动中来，对学生的培养也逐渐由单纯讲解知识点向整合发展转变，旨在不断提升学生的综合素质能力. 在高中数学教学过程中，也相应地存在“授之以鱼，不如授之以渔”的转变. 理论背景及应用在高中数学课程“教什么”和“怎么教”的问题上提供了新的方向. 在授课中，有针对性地引入数学概念的发展历史，适当穿插理论背景及应用的讲解，能够加深学生对概念的理解和对数学学科价值的认识，激发学生的好奇心和求知欲. 文章引导学生从理论背景中寻找解题思路、从理论背景中寻找知识点之间的联系、从理论背景中寻找数学的思想方法三个方面入手，探讨如何让学生在更深层面上理解数学科学，实现发展学生数学思想方法、提高学生数学素养的目的.

从理论背景中寻找解题思路

数学是一门注重培养学生的逻辑思维能力和训练学生的逻辑严谨性的学科. 在数学教学实践中，笔者发现学生学习中的困惑，不在于知识点记忆不牢，而是不知道运用哪一个知识点来解题. 即使将公式、定理背得滚瓜烂熟，依然无从下手. 这就要求教师善于引导学生寻找解题思路，培养学生的知识应用能力.

2009年，笔者协助导师开展助教工作，那是笔者人生第一次走上讲台. 教的是一个大一金融班的高等数学课程，笔者带着成为一名教师的神圣感和荣誉感，而学生给了笔者第一次站上讲台的尴尬. 第一节课，一位男生就站起来发问，“我们为什么要学ε-N语言？”虽然笔者努力说服他数学理论的重要性，但很明显地，他并不认同. 后来，在与学生的交流中，笔者发现很多学生对数学学科很喜欢，但习惯于背概念、公式、定理以及做习题的学习模式，而对数学的基础理论并不感兴趣，不明白为什么要去深入理解那些晦涩难懂而又出不了考题的基础理论.

第一次站上讲台的尴尬让笔者始终记忆犹新. 回顾自己的学生时代，同样把大量的时间花在了练习习题上，并没有深入地探索数学的理论背景，了解背后的思想根源和实际意义是什么.

当时笔者给了他两种解法，一种是通过不等式变形，整体代换的方法;一种是通过取对数，将不等式组转化为线性规划的方法. 对于第二种方法，虽然过程他懂，但他问笔者：“老师，你是怎么想到取对数的？”这的确是一个值得思考的问题. 对教师来说，这是一个再自然不过的解法了，但为什么学生想不到呢？

这个问题笔者思考了很久，直到再一次拿起《必修1》的教材，在之前忽略的阅读内容中找到了答案：“历史上在计算机发明以前，人类缺乏有效的大数计算工具，对数是被开发出来简化烦琐的计算的. 在对数的作用下，高阶运算可以被降为低阶运算. 对数工具的发明，可以说是‘延长了数学家的寿命.” 这个仅仅是看起来有趣的阅读内容提及的降阶思想，虽然与应试考点没有直接关联，但正是这道题目解题思路的来源.

这道题目同样是使用对数工具降阶运算等级，从而简化问题. 但如果学生在平时学习中不了解对数的本源意义，面对这类看似不等式的问题时，往往很难联想到运用对数工具.

类似地，在教学中谈及角度的推广和弧度制时，很少会谈到为什么要进行这样的推广. 但三角函数的推广在之后的学习中是有重要意义的，比如函数中常用的三角代换技巧、圆与椭圆的参数方程等，在这些领域，三角函数都扮演着非常重要的角色.

这时，问题变成了三角代换，而学生初见这个问题，是很难想解决方法的. 如果在教学中，一开始就有意地传达三角函数的代数意义，在之后介绍到三角代换的技巧时，就不会显得生硬，学生也更容易理解.

從理论背景中寻找知识点之间的联系

近年来，高考中越来越多地出现复合型问题. 对学生的知识点考察也越来越全面化，这也是教学活动的一个指向标. 教师应更加重视理论背景的介绍，让学生了解知识点之间的横向和纵向联系，从总体上把握数学知识的脉络和体系，拓宽学生的思维、思路，进一步培养和提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力.

举个例子，高中数学的孤岛——复数. 这个概念在江苏高考中为B级考点，与其他概念联系不大. 但如果深究一些，会发现复数与其他概念之间有很多有趣的联系. 作为A级考点的矩阵变换就有这样一个应用，利用伸压变换矩阵，可以将一个椭圆变形为一个圆. 圆相较椭圆来说，有很多良好的几何性质，利用其几何性质可以将问题在圆中解决，再使用变换矩阵的逆变化将问题还原，这就是常用的仿射变换方法. 既然椭圆问题可以用这种方法转化为圆问题，那其他圆锥曲线，比如双曲线也可以吗？然而在实数域内，双曲线与圆之间有一道不可逾越的鸿沟：无论使用什么变化矩阵，都无法改变平方项的系数符号. 这时，只要将矩阵中的元素扩充到复数域，问题就迎刃而解了，这正是复数工具的作用. 使用这个特殊的仿射变换，可以得到很多关于双曲线的二级结论，如双曲线的中心弦公式等. 解决这个问题的关键，就是对复数这个B级考点的扩充和深化，进而让学生理解，扩充数域不仅仅是一个理论，更是有实际意义的.

从理论背景中寻找数学的思想方法

在教学中笔者发现，培养学生对数学的兴趣，引导学生了解这一学科的前世今生，感受这一学科的理性美，寻找这一学科的思想方法，能够有效激发学生的学习自主性和创造性.

上高中的侄子曾经问过笔者这样一个问题：“能不能定义一个数I，与0的乘积等于1？”

他告诉笔者，老师是这么引入复数单位的：谈到虚数的大致过程是通过计算，最后得到的结果是对-1开根，因此定义一个i，i的平方等于-1，式子就有结果了，答案是i.

侄子提问：为什么不能定义一个数，和0相乘等于1呢，这样其他数除以0就有结果了.

老师回答：0不能做除数.

问题似乎是解决了，但侄子依然不明白，虽然0不能做除数，但-1也不能开根呀，为什么老师能定义i，而自己不能定义1与0的商呢？

这个问题的答案涉及了数学的本源与逻辑范畴，如果抓住机会适当引导，可以作为一堂很有深度的科普课.

其实，数学是一门纯逻辑的学科，权威没有用，有用的只有逻辑推理. 欧几里得是几何学大师，他定下了几何学的5条共设，在此基础上发展出了辉煌的欧式几何. 但一样会有后代的数学家来挑战欧式几何的第五共设，而正是这种挑战，推进了非欧几何的建立. 数系的扩充也同样如此. 几千年来，人们认为负数没有平方根，而由于实际需要，先代的数学家打破传统，创造了复数单位，推广了数系. 先人敢于挑战传统，教师又有什么理由来弹压学生呢？

后来，笔者在教学中也遇到了学生问同样的问题，笔者觉得能问出这个问题的孩子是很有想法的. 笔者赞赏了他，并与他一起推理引入1除0的商后，数系发生的变化，并在严密的逻辑推理下得到了这样一个结果：“如果引入1除0的商，那么在满足原有运算规则的条件下，实数系中的每一个数都会等于0. ”学生发现，对比复数单位的引入，两者的结果是完全不同的. 引入复数单位能够扩大数系，帮助解决更多的运算问题;而引入1除0的商却会破坏整个实数系，导致任何运算都没有意义. 此后，笔者每提及数系扩充，必讲这个问题. 笔者也更加深刻地感受到，教师不能将课堂当成自己的“一言堂”，而是应该在讲解基本知识框架的基础上，让学生通过自己的思考来体会知识发现创造和应用的过程. 只有通过自己探索并理解的知识，才能真正成为学生自己的知识.

数学科学的内容，包括数学知识和蕴藏于知识中的思想方法. 概念、定理、公式等是数学的外在表现形式，但其背后的思想方法的教学价值还未引起充分的重视. 实际上，数学思想方法在科研中具有举足轻重的地位和作用，具体表现在：一是提供简洁精确的形式化语言;二是提供數量分析及计算的方法;三是提供逻辑推理的工具. 在教学中，经常会碰到这样的学生，将“为什么”作为口头禅. 虽然这些“为什么”不一定与考试有关，但这正是学生求知欲的体现. 比如“为什么e是自然对数，这个无理数哪里自然了？”“为什么两平面平行，一定有线面平行？”等等. 这些问题看似刁钻，但其实都指向了数学的本源. 如果好好利用，可以有效激发学生对数学的兴趣，让学生在学习数学知识、方法的同时，构建起思想层面上的数学观念，并在此基础上进行解题分析，将知识运用得更加得心应手.