初中数学探究式教学存在的问题与教学建议——以勾股定理教学现状的调查分析和教学改进为例

张伟俊

（江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

一、问题提出

随着数学课程改革的不断深入，一线数学教师已经逐步认识到：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的基础知识和基本技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.正是为了实现这样的目标，探究式教学越来越受到青睐，成为数学课堂教学的重要方式之一.但是，从实践情况来看，一些探究式教学还只是形式上的探究，缺乏实质性的数学思考，从而影响了探究的效果和学生的发展.那么，探究式教学的问题究竟在哪里？原因是什么？该如何改进呢？

为了能用事实说话，真正找准问题、理清原因、提出建议，以勾股定理的教学为例，开展了基于调查分析的跟进式教学改进研究.通过调查分析，以真实的数据诊断问题；通过跟进式教学改进，为教师提供优秀案例；通过总结反思，形成具有普遍意义的教学建议.之所以选择勾股定理的教学为例，一方面，因为勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它是人类认识世界过程中的重要发现，也是初中数学教学中开展探究式教学的重要素材；另一方面，当前勾股定理的教学现状不容乐观，有的是先传授结论然后进行实验验证，有的是设计一些如“量一量，算一算，猜一猜”式的假探究，诸如这样的教学设计有改进的现实需要.

二、研究对象与设计

本研究对象以某市初中数学校长学科基地和名师工作室成员为主体，参与研究的人员是来自16所初中的46名数学教师，他们在男女比例、城乡比例、职称分布等方面都比较合理，具有较好的代表性.其中，男、女教师各占43%，57%；城、乡教师各占46%，54%；初级及以下、中级、高级教师各占28%，50%，22%.

本研究是基于调查分析进行跟进式教学改进的现场教学研究，分三个阶段展开，分别是诊断性调查分析，跟进式教学改进和反思性总结评价.其中，诊断性调查分析是通过问卷调查和访谈交流的方式，了解参研教师在勾股定理的教学过程中开展探究式教学的现状；跟进式教学改进是针对调查分析暴露出来的问题，改进勾股定理的教学，并以现场教学的形式呈现；反思性总结评价是在组织参研教师对所做教学改进进行评议的基础上，总结提炼具有普遍意义的教学建议.

三、研究结果与分析

1.诊断性调查分析

（1）问卷调查.

问卷调查共发出46份，收回46份，均为有效问卷.本次调查的目的主要是了解勾股定理（第1课时）探究式教学的现状.调查问卷包括如下两个部分.

第一部分梳理了当前比较流行的五种勾股定理（第1课时）的教法：A.直接给出勾股定理的结论，然后加以证明；B.让学生通过测量直角三角形的三边长度发现勾股定理，然后再加以证明；C.先在正方形网格中以直角三角形的边为边向直角三角形外部作正方形，然后通过计算正方形的面积发现勾股定理，并加以证明；D.以勾股定理的数学史为载体，向学生再现勾股定理的发现过程，并加以证明；E.通过剪拼、运算等实践活动发现勾股定理，然后再加以证明.为了了解被调查者在勾股定理教学中所选择的教法及其演变，请被调查者从中选出与自己第一次教学勾股定理和最近一次教学勾股定理所用教法最相符的选项.这两个问题的数据分析如表1所示.

表1：勾股定理（第1课时）教法选择的调查结果

从表1中可以看出：无论是第一次教学，还是最近一次教学勾股定理（第1课时）时，都是选择教法C的最多；同时，最近一次教学所选教法与第一次教学所选教法相比，选择教法A，B的明显减少，选择教法C，D，E的有所增加.由此可见，随着教师的专业成长，教师对勾股定理的教法选择中，探究的意味明显增强.

第二部分将勾股定理的教学过程概括成五个环节：A.探究方向的明确（关注到直角三角形三边之间存在确定的数量关系）；B.探究思路的形成（形成研究直角三角形三边之间数量关系的思路）；C.结论的发现（发现直角三角形三边之间的数量关系的过程）；D.结论的验证（勾股定理的验证和证明）；E.结论的应用（勾股定理的应用）.为了了解被调查者在勾股定理教学的哪些环节的处理上存在困惑，请被调查者选出他们认为最难处理或自己最缺失的环节.这个问题的数据分析如表2所示.

表2：勾股定理教学认识的调查结果

从表2中可以看出：对于最难处理或最缺失的环节，选择最多的是环节B，其次是环节C.B，C两个环节是教学过程中最核心的部分，既是发展学生数学思维的关键环节，又是学生亲身经历探究过程的关键环节.这样的调查结果，说明教师在组织勾股定理的探究教学中，方法不多，能力不足，值得展开深入地研讨.

（2）访谈交流.

首先邀请四位数学教学专家和骨干教师担任访谈的主持人，然后将参研的46位教师分成四组，每组11～12人进行访谈交流.访谈中主要聚焦三个问题：A.在勾股定理（第1课时）的教学中，关注的重点是什么？B.勾股定理怎么得出更合理？C.你下一次进行勾股定理的教学时准备做哪些改进？访谈中，主持人不持观点，主要任务是引发参研教师的思考、交流和辩论，并做好记录.

在交流访谈的过程中，我们发现教师的交流很热烈，形成了观点碰撞，现将主要观点摘录如下.第一组的主要观点有：①为了提高学生成绩，勾股定理（第1课时）的教学关注的重点应当是勾股定理的应用，而不是探究过程；②教学过程中，如果发现勾股定理的过程用时过多，会影响整体的教学进度，压缩了勾股定理应用的时间，得不偿失；③对于教学改进，认为可以再现毕达哥拉斯发现勾股定理的过程（故事），按照从特殊到一般的思路，先研究等腰直角三角形的三边关系，再研究一般直角三角形的三边关系.第二组的主要观点有：①勾股定理的发现经历了漫长的时间，无法用一节课的时间探究出来，这节课没有必要上成数学探究课；②勾股定理的教学可以引导学生欣赏古人的智慧，然后加以证明.第三组的主要观点有：①通过几何画板软件的动态演示，改变直角三角形的形状和大小，但始终有a2+b2=c2（直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方）；②让学生在网上收集关于勾股定理的资料，增强研究的兴趣.第四组的主要观点有：①勾股定理的教学改进很困难，如怎么想到将直角三角形放到网格背景中来研究的？怎么想到以直角三角形的三边向外作正方形的？与其不能自圆其说，不如把精力放到勾股定理的应用上去；②勾股定理的探究可以拓展开来，引导有兴趣的学生用类比的方法来探究锐角三角形和钝角三角形的三边是否有类似的结论.

综合访谈教师的观点，可以看出：有些教师的观念还比较落后，功利化思想比较重，“应试”痕迹比较浓，忽视定理的探究过程，过分强调定理的应用；有些教师组织的探究教学，铺垫太多，牵引太多，探究味不浓，缺乏实质性的数学思考；还有些教师因为自己没有办法引导学生展开合情合理的探究，从而放弃了探究式教学.当然，也看到了一些教师在数学文化渗透、信息技术支持等方面的宝贵的实践经验.

2.跟进式教学改进

首先，聚焦诊断性调查分析中暴露出来的问题，主持人协同四位受邀的数学教学专家和骨干教师进行集体研讨，进行有针对性的教学改进；然后，由主持人执教公开课，所有参研人员进行观摩.本教学改进，着力改进参研教师认为最难处理或最缺失的教学环节，充分展现探究直角三角形三边数量关系的思路是如何形成的，以及探究过程是如何展开的.其教学简录如下.

（1）发现问题，感受问题的合理性.

师：在三角形中，已知两个角的大小可以求出第三个角的大小.那么，已知两边的长度可以求出第三条边的长度吗？例如，在△ABC中，AC=3，BC=4，你能求出AB的长吗？

生1：不能.但可以求出此时1＜AB＜7.

师：你觉得添加一个什么条件，AB的长就能确定了？

生1：添加∠C的度数.

师：你知道其中的道理吗？

生1：根据全等三角形的判定条件“SAS”.

【改进说明】基于学生的已有认知基础，类比“三角形中，已知两个角的度数可以求第三个角的度数”，提出问题“三角形中，已知两边的长度能否求出第三边的长度”，启发学生将目光聚焦到两边及其夹角确定的三角形的第三边可求，为研究问题的提出埋下伏笔.

（2）提出问题，明确探究的方向.

师：如果此时给出∠C的度数，你能求出AB的长吗？

生：不能.

师：此时AB的长是确定的，但是我们不会求.怎么办呢？不妨从特殊情形入手，∠C的取值范围是0°～180°，你们希望先解决哪个特殊角度？

生：90°.

师：今天我们就来解决这种特殊情况，也就是：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB的长.

【改进说明】通过创设学生“可求”又“不会求”的认知冲突，引导学生按照从特殊到一般的思路提出问题，即已知直角三角形两直角边的长度，如何求斜边的长度.这样，问题的提出合情合理，既能激发学生的探究兴趣，又能为学生指明探究方向.

（3）分析问题，形成探究的思路.

师：在这个直角三角形中，知道了两条直角边的长度，怎么求斜边的长度呢？由于这里是“两条直角边长都是整数”的特殊情况，我们不妨将它画到网格纸中去试一试.

学生先画图，再思考.

师：从小学到初中，我们经常以网格为载体开展数学探究.大家可以回忆一下，以前我们经常在网格背景下解决怎样的问题？

生2：画平行线、垂线，计算格点多边形的面积等.

师：根据这些经验，我们能不能找到一种求AB长度的方法呢？如果直接求AB的长比较困难，是否可以考虑将求AB的长转化成求一个其他的量呢？

学生仍有疑惑.

师：同学们是会求格点多边形的面积的，能从这里寻找思路吗？

生3：将求AB的长转化成求格点多边形的面积.

师：求哪个格点多边形的面积？

生3：以AB为边长的正方形的面积.

师：为什么呢？

生3：因为有了以AB为边长的正方形的面积就有了AB2，于是就可以求出AB的长了.

师：很有创意的想法！下面就请同学们在网格中画出以AB为边长的正方形，然后再想办法求出这个正方形的面积.

学生先自主探究，再合作交流；教师巡视，参与小组探究.

师：下面请小组代表来展示你们的研究成果.

生4：用补全的方法.如图1，在以AB为边长的正方形周围补四个全等的小直角三角形，形成一个大正方形.（计算过程略.）

图1

图2

生5：用分割的方法.如图2，将以AB为边长的正方形分割成四个全等的小直角三角形和一个小正方形.（计算过程略.）

【改进说明】在勾股定理的探究过程中，最大的难点是如何引导学生想到关注直角三角形三边之间的数量关系，并展开探究.问卷调查中所述的五种常见做法，都有不同程度的“教师带领学生走”的意味，缺乏学生自己的思考.改进教学中，我们另辟蹊径，避免直面“直角三角形三边之间数量关系”，选择从特殊情况（勾三、股四、弦五）入手.首先，教师引导学生引入网格背景，并启发学生借助已有经验将求直角三角形斜边长的问题，转化为求以直角三角形斜边长为边长的正方形面积的问题；然后，组织学生在自主探究、合作交流的过程中利用“割补法”求面积，从而解决问题.这样的探究思路的形成，既有研究方法的指导，又显得合情合理.

（4）解决问题，得出探究的结论.

师：刚才我们借助网格背景解决了问题.如果没有网格背景，还能解决类似的问题吗？我们不妨试试看.在△ABC中， ∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长.

学生先自主探究，再合作探究.

师：下面请小组代表来展示一下你们的研究成果.

图3是学生用补的方法的解答思路.当然，用割的方法也可以解决，具体过程略.

图3

师：从网格背景中的求解受到启发，我们解决了没有网格背景中的问题.通过以上的探究，你发现直角三角形的三条边长之间有什么关系了吗？

生6：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.

师：你是怎样发现的？

生6：只要将图3中的具体数字换成字母就可以得到一般的结论了，方法是一样的.

师：你的想法真了不起！那我们一起来换一换，在△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，则AB的长是多少？请大家算一算.

图4是学生的解答思路，具体过程略.

图4

师：同学们都得到了AB2=a2+b2.如果设AB=c，那么就可以得到a2+b2=c2.也就是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.这个结论，我们称之为勾股定理.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把它称为勾股定理了，也就是“勾的平方+股的平方=弦的平方”.

【改进说明】从有网格背景到无网格背景，学生顺利进行正迁移，借助先前的经验，形成解决问题的通法，即以“割补法”构造全等三角形，解决了没有网格背景下“已知直角三角形的两条直角边长求斜边长”的问题，继而诱发学生进行归纳猜想，并将问题推向更一般的情形，最后顺利探究出勾股定理的结论.在这样的探究过程中，学生全身心地投入，从特殊走向一般，收获的不仅仅是勾股定理的结论，更重要的是经历了探究过程，学会了探究方法，发展了数学思维，收获了成功的喜悦.

（5）文化渗透，感悟探究的魅力.

教师介绍勾股定理的辉煌历史后，带学生领略毕达哥拉斯学派对勾股定理的“无字证明”的魅力.

师：同学们，从商高到赵爽，从“勾三股四弦五”到“a2+b2=c2”，这正是人类认识世界从特殊到一般的过程.多少年来，许多人为之着迷，将其称为“几何明珠”，并冥思苦想地给出了很多证法.在西方，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理，下面我们就来看看他们的证法吧！图5中有八个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，b，斜边长为c）和三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们拼成两个大正方形，由此就证明了勾股定理.你知道其中的道理吗？

图5

生7：图5中两个大正方形的面积相等，两边各自去掉四个全等的直角三角形，剩余的面积相等，刚好就是a2+b2=c2.

师：你的想法和大数学家的想法是一样的，太巧妙了.勾股定理是全人类的一座宝藏，奇妙无穷，希望同学们课后继续探究.

【改进说明】通过对勾股定理的数学史的介绍，一方面，激发学生的学习兴趣和探究热情；另一方面，渗透对学生的思想教育，激发民族自豪感.

勾股定理的简单应用和课堂总结略.

3.反思性总结评价

反思性总结评价采用问卷调查的形式展开，共发出问卷46份，收回46份，均为有效问卷.调查主要是了解参研教师对现场观摩的“勾股定理”（第1课时）的教学改进的评价意见.通过对问卷的整理分析，归纳了两个问题：（1）参研教师对教学改进后的课例所持的态度；（2）参研教师认同的教学改进后的课例的成功之处.

首先，参研教师对本教学改进持赞同态度的占比为78%、基本赞同的占比为18%.这说明这样一种突破勾股定理传统教法的改进，得到了参研教师的普遍认可.

其次，参研教师对本教学改进给予了很高的教学评价.在这些评价中，出现的频率较高的关键词有“注重问题引领”“重视探究过程”“重视方法指导”“突出主体地位”“教学方式多样”“学生参与积极”等，而这些正是数学探究式教学的重要特征.当然，在评议中，也有教师指出这样的教学改进对学生的要求过高，需要引起重视.

四、研究结论与建议

探究式教学是教师以问题引领学生观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测并探求数学结论和规律，给出相应的解释或证明的一种教学方式.它对发展学生的数学思维、提升学生的核心素养具有重要意义.

1.结论

当前，初中数学探究式教学仍然存在思想不够重视、探究意味不浓、缺乏数学思考等问题.究其原因，并不是教师不愿意开展数学探究式教学，而是在设计和组织数学探究式教学方面的经验不足，尤其是在处理“探究思路是怎样形成的”和“探究过程是怎样展开的”两个环节上显得方法不多.

探究式教学的设计和组织，应以发展学生的数学思维、提升学生的核心素养为导向，以问题引领、方法指导为抓手，聚焦探究思路的形成，着力探究过程的展开，让学生在主动探究的过程中得到启发与引导、激励与支持.

2.建议

（1）加强学习研究，提升探究教学的能力.

作为数学教师，首先，要充分认识到探究式教学对于学生发展的重要意义，提高开展探究式教学的意识，努力为学生创造探究性学习的机会，在参与、建议、指导、鼓励、欣赏的过程中，与学生一起经历探究的失败与挫折，一同体验探究的成功与喜悦.其次，要加强学习和研究，努力提升设计和组织探究式教学的能力.一方面，要深入钻研教学内容，选择恰当的素材，立足学生的已有经验精心设计教学，以问题为线索驱动学生对新知的再发现和再创造；另一方面，要深入学习探究式教学的实施策略，把握探究式教学的特点，提升组织探究式教学的能力.

（2）以问题为纽带，展开探究的全过程.

探究式教学的过程就是问题解决的过程，但它不仅关注问题解决的结果，更关注问题解决的过程.就学生的思维发展而言，问题解决的过程显然更有价值，尤其是弄清楚问题是怎样产生的，思路是怎样形成的，这对学生的思维发展起着关键性作用.因此，探究式教学应以问题为纽带，围绕新知的发生与发展精心设计问题串，并通过及时追问引领学生经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的全过程.在“用数学的眼光观察世界”的过程中发现问题，在“用数学的语言表达世界”的过程中提出问题，在“用数学的思维分析世界”的过程中分析问题，最终实现问题的解决.例如，在勾股定理的探究过程中，要引导学生思考“怎样发现已知直角三角形的两边可以求第三边？”“已知直角三角形的两条直角边求斜边的思路是怎么产生的？”，这样的问题是触及本质的问题，具有思维价值，教学中不能让其滑过.

（3）突出自主探究，优化教与学的方式.

数学探究是学生自主探究、主动学习的过程.这就要求教师在教学中充分保障学生的主体地位，坚持以学为中心，真正做到“学生先思，教师后导”“学生先学，教师后教”，切实提高学生思维的参与度.也就是在教师教之前，先保证学生有充分的自主探究的时间，对探究内容或相关问题进行适当的分析和思辨，亲身经历问题的探究过程，在自身已有知识经验的基础上进行主动建构.然后，及时组织学生进行合作探究和展示交流，让学生在交流的过程中发生思维的碰撞，产生智慧的火花.总之，在开展探究式教学的过程中，教师应该以学生的自主探究为基础，多种教学方式灵活应用，努力让学生在探究中学会数学地思考，在交流中学会有条理的数学表达.

（4）把握最近发展区，搭建“脚手架”.

探究式教学的本质是学生对已有数学结论和规律的再发现和再创造的过程，这就意味着这样的探究过程不可能一路顺畅，而是充满挑战的.为此，教师在设计教学时，创设的问题情境要难易适中，切准学生的实际水平，切中学生的最近发展区.只有这样，学生才能在已有的认知水平上，通过自身的努力获得智能发展.同时，教师也要根据实际情况，适时给予必要的指导和介入，为学生搭建适当的“脚手架”，或为学生指明方向，或为学生设置台阶，使学生“跳一跳，够得到”.例如，在勾股定理的探究过程中，学生要如何想到将直角三角形的问题放到网格背景下来处理呢？这对学生来说是非常困难的，这就需要教师的引导，及时为学生指明方向.当然，我们也需要警惕为了“教学流畅”的过度设计，当探究成了学生按教师的预设的轨道按部就班地进行时，这样的探究也就没有了思维的价值.

（5）及时总结反思，促进方法经验内化.

数学探究是有规律可循的.教学中，教师应有意识地组织学生进行及时地总结、反思，引导学生透过具体的事例感悟数学的本质.在这个过程中，教师要有专业的引领，给予学生研究方法的渗透与指导、经验的提炼与内化.例如，观察与联想、实验与操作、类比与化归、特殊与一般等研究方法和经验，对发展学生的思维，提升学生的数学核心素养，是非常重要的方式.同时，教师还要通过及时追问的方式，启迪学生思考“为什么是这样的？这是怎么想到的？”，引领学生在思考中解决问题，在解决问题中思考，不断积累解决问题的策略和经验.例如，在上述勾股定理的探究过程中，教师指导学生先探索特殊背景（网格）中的直角三角形问题，然后去掉特殊背景，最后走向探究一般的直角三角形的三边关系，这充分体现了从特殊到一般的研究问题的思路和方法.学生在这样的过程中，不仅获得了知识与技能，还能体悟到数学思想方法，积累数学活动经验，这样的学习才是有意义的学习.