以一题教学为根，让学生思维自然流淌

方成勇，余建明

（浙江省淳安县千岛湖初级中学；浙江省淳安县第二中学）

随着初中新课程改革的进一步推进和实施，教育各界对初中数学课堂实效性的要求已经越来越高.在这样的背景下，从初中数学课堂的角度出发，如何合理的在45分钟内充分发挥教材例、习题的功能，丰富其所包含的知识点和解题方法，调动学生的学习兴趣，使不同层次学生的数学思维能力得到提升，仍需要进行研究.章建跃博士曾提出，在遵循数学知识发生、发展过程的合理性和学生思维发展过程的合理性的基础上理解数学、理解学生、理解技术、理解教学.笔者以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“特殊三角形”中的一道习题为例谈一题教学的构建与实践.

一、理性思考——理念重构与优化

1.概念界定

一题教学，即以数学知识的发生、发展过程和学生认知数学知识的思维过程为依据，针对某一个知识点，围绕考试说明设计一道（组）试题，将有关的基础知识、基本技能、基本思想和基本方法融于其中，让一道题串联起知识、方法和思维，最终提升学生的数学素养.

2.研究架构

根据数学学科特点，以及学生的认知能力形成、素养提升等特征，笔者设计了如图1所示的研究架构，重点分四个环节予以实施.

二、实践研究——以一题教学为根

1.分析学习起点：一题多问，串联知识

本节课的授课对象基础较好，总体素质较高，学生的认知过程已经能从归纳猜测到演绎推理.从知识的发生、发展来看，例1是在学生学完全等三角形和特殊三角形以后对图形认识的进一步提升.

例1如图2，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点D，E，使得AD=CE，BD与AE相交于点P.求∠BPE的度数.

图2

教学片断1：

教师先让学生思考5分钟，之后提出如下问题.

师：如果点D在AC上运动，∠BPE的度数会变化吗？

生1：不会发生变化.

师：你是怎样想的？

生1：我发现当点D，E分别是AC，BC的中点时，∠BPE=60°.当点D与点A重合，点E与点C重合时，∠BPE=∠ABC=60°，所以我猜测∠BPE的度数不会变.

师：这种思路很好，若你能证明这个结论就更好了.

生1：只要证明△ABD≌△CAE就可以了.由此可得∠ADP=∠AEC.所以△APD∽△ACE.所以∠APD=∠ACE=60°.所以∠BPE=60°.

师：我们发现点D，E，P都在运动，但∠BPE的度数不变，你们还能发现有其他元素不变吗？

生2：我还发现了P，D，C，E四点共圆.

对于四点共圆，笔者在教学设计时没有预设.是继续研究预设的边、角的不变关系，还是顺着生2的思路研究“四点共圆”的不变性呢？秒思后果断选择后者.于是把对边角关系的研究移至例3，将例1增加如下一道小题：

例1中，若△ABC的边长为，当点D，E分别在边

生3：因为，∠APB=120°，利用同弧所对的圆周角相等，所以点P运动的轨迹是一段劣弧AB，所对圆心角的度数是120°.如图3，当点P运动到劣弧AB的中点时，就能求出AC和BC上运动时，求点P运动轨迹的长度.

教学片断2：

师：你怎么发现P，D，C，E四点共圆的？

生2：因为对角互补，即∠DPE+∠ACB=180°，所以P，D，C，E四点共圆.

师：当点D，E运动时，点P的运动轨迹是什么？

生2：我猜测是一段圆弧.

师：你能在图2中画出这段圆弧吗？

生2：P，D，C，E四点中只有一个定点，其他三个点都是动点，我找不到圆心.

师：四点中有三个点动，点P能否不局限于P，D，C，E这四个点中的圆，能否根据∠APB的不变性找到动圆的圆心？半径的长.

图3

师：你真棒，圆心和半径确定，现在你能求出劣弧AB的长度吗？

教师配合学生利用几何画板软件进行动画演示.

生3：

【评析】逻辑推理包括归纳推理与演绎推理.在教学中，教师有时过分强调演绎推理会忽略了归纳推理，过分强调命题的证明会忽略命题的提出与思维的生成.其实，很多数学结果是“看”出来的，而不是“证”出来的，尽管有时看出来的结果不一定正确.教学片断1中，学生利用特殊位置关系猜测∠BPE=60°，教师通过问题引导学生进行深入思考，寻找∠BPE的度数不变的原因，让学生在有几何直观认识的基础上拥有更为严谨的几何论证思路.教学片断2中，学生提出的“P，D，C，E四点共圆”超出教师预设，此时教师没有打断学生的思路，而是珍惜学生提出的问题，串联知识，开拓视野，把教学“事故”变成美丽的“故事”，让师生共同欣赏沿途的风景.

2.依据学习趣点：一题多解，串联方法

例1的教学给学生提供了主动参与变式的土壤，调动了学生的学习热情，点燃了学生思维的火花.笔者趁机让学生思考例2.

例2如图4，在等边三角形ABC中有一点P，使得，求∠APC的度数.

图4

教学片断3：

生：刚好构成直角三角形中的三条边.

生4：我想到旋转.如图5，将△ABP绕着点B顺时针旋转60°，使得AB与BC重合，连接PR，由△ABP≌△CBR，就能把三边转化到△PRC中.

图5

师：很好，那你得到结果了吗？

生4：根据三角形全等可得对应边相等.在△PRC中，由，可得∠PCR=90°，∠CPR=30°，∠PRC=60°. 所以 ∠BPC=90°， ∠APB=120°，∠APC=150°.

生5：老师，我不是这样旋转的.如图6，我是将△APC绕着点A顺时针旋转60°，使得AC与AB重合，连接PQ，由△APC≌△AQB，把作为Rt△PQB的三边之比.

图6

生6：我发现也可以将△APB绕着点A逆时针旋转60°构造直角三角形.

生7：那这样不是有六种方法了吗？分别以点A，B，C为中心旋转，逆时针有三种方法，顺时针有三种方法（如图7）.

图7

生7讲完后，教室中顿时响起雷鸣般的掌声.

【评析】直观想象不是简单的把解题模式化或进行旋转， 一题多解更不是让学生记住各种旋转方式.一题多解应该是学生在已有认知水平中自然生成的.一题多解应该是学生在已有的认知水平上的自然生成，从而达到怎么解？为什么这样解？还能怎么解？例2中，学生的学习兴趣点是旋转，难点是为什么要旋转？重点是怎么旋转？这一系列问题的解决，教师不能替代，必须由学生自己体验.学生通过观察与运算发现，但是如何把的三边关系转化到一个三角形中，这才是旋转的本质.运算是数学的“童子功”.对于运算和思维的“过程”教育，不是数学知识产生的过程，也不是数学家所描述的思维过程，更不是展示教师的思维过程，而是学生自己观察数据，进行数学运算，理解数学的思维过程.理解教学的本质往往不是教师的教，而是理解学生用数学的眼光观察具体问题，理解学生用数学的思维思考问题，理解学生用数学的语言表达现实问题.

实验组子宫几率残留率以及子宫肌瘤复发率均明显低于对照组，其成功妊娠率明显高于对照组，差异有统计学意义（P＜0.05）。 如表 4。

3.根据学习难点：一题多变，串联思维

推理是数学的“命根子”.一题教学立足于学生的思维难点，通过不断的“变”，让学生在不同的背景下探求知识之间的内在联系，使学生的思维高度逐步得到提升，让课堂成为学生学习的乐土.教师可以通过一题多变，引导学生一题多思，将知识和方法各自串珠成线，串联思维，织成网络，最终形成数学素养.

例3如图8，在等边三角形ABC中有一点P，使得，延长AP交BC于点E，延长BP交AC于点D，则∠BPE的度数为多少？

图8

教学片断4：

师：由例2易得∠BPE=60°.此题中能否得到其他数量关系？

生8：角的关系，有∠BPE=∠APD=60°.

生9：相似关系，有△APD∽△ACE.

生10：由△APD∽△ACE，可得∠ADP=∠CEA.从而得到全等关系，即△ABD≌△CAE.

师：大家看看还有其他关系吗？

生11：边的关系，有AD=CE.

师：大家再看看例1和例3有什么内在联系？

生12：两道题目是互逆的.例1中，由AD=CE，可推得∠BPE=60°.例3中由，可以推出∠BPE=60°，最后得AD=CE.

师：由AD=CE，能推出吗？

生13：不能.因为点D在运动，所以AP，BP，CP的长度会改变，所以不能推出.

师：生13分析得很好.例1中点D在运动，当点D运动到一个特殊的位置时，它就满足.

师：这个特殊位置能否找到？

生14：还可以这样理解，因为∠APB=120°，所以点P运动的轨迹是一段劣弧AB.同理，由∠BPC=90°，则点P运动的轨迹是一段弧；由∠CPA=150°，则点P运动的轨迹是一段弧，三段圆弧的交点就是点P.

教师用几何画板软件进行展示，如图9所示.

图9

【评析】数学教学不但要求学生掌握基础知识和基本技能，而且要使学生掌握获取学习知识的本领.牛顿说过：我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸.学生是学习的主体，学习思维的难点是将已学知识串联起来，使数学思维活跃起来.例3中，求∠BPE的度数是对例2关联知识的延续，边、角、全等、相似的探究是学生多角度思维的延续.例3与例1是特殊化与一般化的探究，是学生思维的严谨性和深刻性的升华.学生思维的升华都离不开教师的追问，通过一步步追问，让学生看清楚题目之间的关系，引导学生辨析思维的严谨性.从而学生发现例3中的点D是三段圆弧的交点，是点D运动到某个特殊位置的静止状态.对于学生提出的问题，教师也十分重视.提出问题是思维的开始，只有提出问题，才有问题去分析，有问题去解决.

4.立足课堂测评：一题多思，串联素养

一节完整的课离不开课堂测评，测评内容可以是当堂课的授课内容，也可以适度变化，以检验学生运用知识的灵活程度.结合本节课的主题是研究AP与BP随点D运动时角的不变性，笔者将课堂测评换成判断线段的关系的不变性.

课堂测评：如图10，在等边三角形ABC中有一点P，使得，延长BP交AC于点D，求AD∶DC的值.

图10

教学片断5：

师：求AD∶DC的值，你打算怎么做？

生15：先量再猜测.

师：你量出来是多少？

生16：我量得AD=1.7cm，DC=3.4cm，所以我猜CD=2AD.

师：接下来你要怎样证明CD=2AD？

生17：要证明CD=2AD，我想到了线段成比例，所以想到了证明三角形相似.

生18：如图11，将△ABP绕点B顺时针旋转，使AB与BC重合，得△BRC.连接PR，则PR=2AP.结合目标CD=2AD，猜测DP∥CR.

图11

师：那证明两直线平行的通法是什么？

生19：证明角相等.我发现两个内错角相等，即∠BPR=∠PRC=60°.

生20：这两个角不一定是内错角，要证明A，P，R三点共线.

师：很好，那要怎么证？

生20：证明 ∠APB+∠RPB=180°.

师：因为DP∥CR，且A，P，R三点共线，所以.

【评析】会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达现实世界，这是检验学生数学素养的标准.测评期间，学生通过测量、估算边的关系、猜测结论等一系列运算、分析活动，亲身体验用数学的眼光观察现实世界.针对目标CD=2AD探寻题中的已知条件，让目标和条件接轨等一系列数学抽象、逻辑推理活动，亲身感受会用数学的思维思考世界.展示学生解决问题的思维过程，让学生享受会用数学的语言表达现实世界.

三、实践反思——核心素养探源

1.一题教学要主动寻找驱动问题的“核”

波利亚说，教师在课堂上讲什么固然重要，然而学生想什么更重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起到一个助产婆的作用.因此，寻求学生原生态的思维素材，探寻驱动问题的“核”成为教师的首要任务.驱动问题的“核”可以在新授课中寻找，可以在作业讲评中寻找，甚至可以把握每一次与学生面对面的交流、一道小小的选择题或填空题，从而培养学生的数学素养.爱因斯坦说过，提出问题比解决问题更重要.例1驱动问题的“核”是“四点共圆”的提出；例2驱动问题的“核”是刚好构成勾股定理中的三个数；例3驱动问题的“核”是与例1的互逆关系.每次出现新的问题，笔者及时追问，将学生放到逆境中锻炼，在追问中驱动学生，让问题本原化顺应学生思维的发展.

2.一题教学要明确学生思维的“心”

经验丰富的研究型教师必须克服过分的自我展示欲，尽量多地将课堂还给学生.教师可以亲近学生，有意识地退回到与学生相仿的思维状态.若教师认为学生提出的解法都是稀奇古怪的，不具有普遍性和可行性，则不利于学生的创新意识及思维能力的培养.例2的教学中，若教师直接告诉学生将图形旋转，没有让学生通过观察和运算发现规律的过程，则不利于学生自主发现问题、提出问题和解决问题.例2中，对于学生提出的不同旋转方式，教师应该给予重视，在本原性思维的基础上，使学生的思维迸发.只要让学生说出心中所想，脑中所思，拉长数学思维的探究过程，课堂一定会收到很好的教学效果.

3.一题教学要渗透数学思维的“魂”

数学是一门思维的学科，数学复习离不开解题教学.解题教学是培养学生的思维能力，提升学生的数学素养的途径之一.但长期以来，数学解题教学被演变成了对数学题目的讲解，过分注重题目的结果而忽视了结果的生成过程，过分注重怎么解而忽视了如何想.因此，数学复习课陷入了“讲题—做题—讲题—做题”的怪圈之中.教师若试图用大量的解题训练达到猜题、压题的目的，其结果往往是学生烦躁、教师焦虑，复习效率低下.本节课中，笔者通过设计三道例题及测评试题，为学生展示思维过程创造机会，把课堂还给学生，让数学课堂中蕴含有思维的“魂”.英国大文豪肖伯纳曾比喻：倘若你有一个苹果，我也有一个苹果，那么，你和我仍然是各有一个苹果.但是，倘若你有一种思想，我也有一种思想，而我们彼此交流这种思想，那么，我们每个人将各有两种思想.