基于变式 构造模型——“圆的拓展应用”课堂实录与评析

陈世文，时爱荣

（浙江师范大学附属嘉善实验学校；浙江省嘉兴市教育学院）

2017年11月24日，笔者在浙江省名师课堂展示暨嘉善县第五届课博会上成功开设“圆的拓展应用”展示课，课堂从一个基本模型出发，通过变式题组推进，让学生逐步感悟并掌握解题的思想方法，最后通过拓展提高，将学生的思维进一步升华.整节课衔接自然、流畅，题目设计精巧、有梯度，注重学生思维的提升和能力的培养.受到与会教师的一致好评，现将本节课的实录与点评呈现如下，期待与同行分享、交流.

一、课堂实录

1.提炼模型

师：在之前的学习中，我们经常会遇到求最值的问题，大家回顾一下，求最值常用到哪些知识与方法？

生1：利用两点之间线段最短求最值.

生2：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值.

生3：建立二次函数模型，利用二次函数求最值.

……

师：非常好！看样子大家对求最值已经有了一定的经验积累，本节课我们就来学习利用辅助圆求最值.

题目1如图1，⊙O的半径r=2，P为⊙O外一点，且OP=5，A为⊙O上一动点，求PA的最大值和最小值.

图1

生4：当点A位于点B时，PA最小，最小值为3；当点A位于点C时，PC最大，最大值为7.

师：能说一下理由吗？

生5：如图2，连接OA，当点A与点B，C不重合时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得PO-OA＜PA＜PO+OA，即PB＜PA＜PC.所以当点A位于点B时，PA最小，当点A位于点C时，PA最大.

图2

【评析】利用学生熟知的、简单的问题，激活学生的思维与已有认知，提炼出圆外一点到圆上动点距离的最值几何模型，为后续学习做好准备.

2.应用模型

题目2如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以AB为直径的半圆交AC于点D，P是上的一个动点，连接CP，则CP的最小值是多少？

图3

图4

生6：如图4，连接OC与⊙O相交于点E，由刚才的模型可知当点P运动到交点E时，CP取得最小值，最小值为5-3=2.

【评析】在最近发展区内，以基本模型为固着点，设计一个低起点问题，及时运用、巩固基本模型，强化学生的模型思想与意识.

变式1：如图5，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，D是AB的中点，E是线段BC上的动点，将△BDE沿DE所在的直线折叠得到△B′DE，连接B′C，则B′C的最小值是多少？

图5

生7：如图6，点B′在以点D为圆心，BD长为半径的圆上，连接CD，当点B′位于CD与⊙D的交点时，B′C取得最小值，且最小值为2.

图6

师：点B′为什么在以点D为圆心，BD长为半径的圆上？

生8：因为B′D=BD=3，到定点的距离等于定长，所以点B′在以点D为圆心，BD长为半径的圆上.

师：非常好！由此可见，大家觉得求CP最小值的关键是什么？

生9：关键是确定动点B′的运动路线，若其运动路线是圆，则将问题转化为圆外一点到圆上动点距离的最值模型.

【评析】通过变式1，让学生感悟、体会解决此类最值问题的关键是确定动点的运动路线，若其运动路线是圆，则将问题转化成圆外一点到圆上动点距离的最值模型.而确定动点的运动路线主要根据圆的定义.

变式2：如图7，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是多少？

图7

图8

生10：如图8，点P是在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为点O，连接CO与⊙O相交于点Q，则当点P位于交点Q时，CP取得最小值，且最小值为2.

师：非常好！此时点P为什么在以AB为直径的圆上运动呢？

生11：因为 ∠PAB=∠PBC，∠PBC+∠PBA=90°，所以 ∠PAB+∠PBA=90°.所以 ∠APB=90°.根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知点P到AB的中点的距离始终等于，所以点P在以AB为直径的圆上运动.

师：还有其他方法可以确定点P在以AB为直径的圆上运动吗？

生12：∠APB=90°，根据直径所对的圆周角是直角，可知点P在以AB为直径的圆上运动.

【评析】通过变式2，从不同的视角来探求确定圆的条件，让学生感悟、体会确定运动路线的方法除了定义外，还可以根据圆的性质——直径所对的圆周角是直角.同时起到承上启下的作用，为变式3做好思维的铺垫.

变式3：如图9，在等边三角形ABC中，，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是多少？

图9

生13：因为∠PAB=∠PBC，∠PBC+∠PBA=60°，所以∠PAB+∠PBA=60°.所以∠APB=120°.所以点P的运动路线也是圆.

师：为什么呢？

生14：因为同弧所对的圆周角相等，所以∠APB应该是圆周角.所以点P的运动路线也是圆.

师：非常好，这样只要画出点P的运动路线（圆），就可以将其转化成圆外一点到圆上动点距离的最值模型了.

师：最后大家总结一下，通过这三道变式，你觉得确定动点的运动路线（圆），主要有哪些方法？

生15：根据圆的定义和同弧所对的圆周角相等.

【评析】变式3是变式2的拓展与一般化，让学生进一步感悟、体会确定运动路线的方法：只要当一条线段所对的张角是定值时（并不要求一定是直角），角的顶点运动路线就是圆.同时通过教师的追问，及时总结、归纳出确定动点运动路线的方法.

3.拓展提高

题目3如图10，边长为的等边三角形ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在y轴的正半轴上移动，求顶点C到原点O的最大距离.

图10

图11

生16：如图11，取AB的中点D，连接OD，CD，OC，则.所以顶点C到原点O的最大距离是.

师：能否将其转化为圆外一点到圆上动点距离的最值模型？

生17：我发现点C的运动路线不是圆，所以不能运用刚才的模型.

师：我们知道相对运动，点C的运动路线不是圆，那么能否将点C固定，只让点O运动呢？

生18：可以，将△ABC固定，点O运动，因为∠AOB=90°，所以点O的运动路线是以AB为直径的圆.

师：非常好，这样就转化成了圆外一定点到圆上动点距离的最值了，接下来大家自己完成.这种解决问题的方法我们称为“动静互化”.

图12

图13

生19：假设△ABC不动，点O运动，由于AB固定，∠AOB=45°，所以点O的运动路线是圆.如图13，作△ABO的外接圆⊙D，连接CD并延长，交⊙D于点E，则当点O运动到点E时，CO取得最大值.

师：非常好！生19运用动静互化，确定出点O的运动路线，从而将这道题目转化成了圆外一点到圆上动点距离的最值模型.

【评析】从单点运动到多点运动，给学生造成思维的障碍，引发认知冲突，从而自然引出动静互化的解题方法.

4.巩固练习

练习：如图14，已知∠MON=30°，矩形ABCD的顶点A在OM上运动，顶点B在ON上运动，且AB=2，BC=1，求点C到点O的最大距离.

图14

【设计意图】将直角坐标系的背景去掉，同时将45°角变为30°角，难度进一步加大，深刻考查学生对动静互化和定弦、定角确定运动路线（圆）方法的理解和掌握情况.

二、课堂点评

1.基于变式，知识自然生长

本节课利用题目1，让学生在运用“三角形两边之和大于第三边”“三角形两边之差小于第三边”等知识来分析、解决问题的过程中提炼出“圆外一点到圆上动点距离的最值”模型，再通过题目2、题目3，及其变式题组，一步一个台阶，层层推进，让学生不断经历构造几何模型、运用几何模型来分析问题和解决问题的过程，在这个过程中学生逐步掌握了构造模型和动静互化的方法，体会了转化思想和数形结合思想.

这种从最简单处入手，逐渐变式生长，不断拓展深化的教学设计，形式简洁、立意高远、清新自然.充分调动了学生的学习热情、学习主动性和积极性；培养了学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处.

2.构造模型，渗透数学方法

在学习平面几何的过程中，学生经常会遇到无法直接解答的难题.这时，构造辅助图形对于解题就显得非常重要，而大部分学生在解答平面几何问题时，常常会“想当然”的作出错误的辅助线，或是不知道从何下手.因此，教师要引导他们明确如何构造辅助图形，合理的构造辅助图形在解题过程中一般起着某种桥梁作用，将已知条件和求证结合起来，形成一条逻辑证明的思维通道，能使所求问题得到更好的解决，在这个过程中，重要的是掌握思想方法，学会如何构造.

本课例中构造辅助圆（即动点的运动路线），将问题转化成基本模型是解题的关键，教师通过题目2的三道变式让学生逐步感悟、总结、归纳出确定运动路线——辅助圆的方法：（1）到定点的距离等于定长；（2）定线段、定角度.在这个过程中学生掌握了解决动态问题的本质方法——抓住变中不变的量.例如，线段长度不变、角度大小不变.同时体会、领悟了数学中构造、转化的方法，积累了数学知识和活动经验，提升了解题能力.

3.问题驱动，引发深度思考

问题驱动是指学生在问题的启发下进行独立思考、发展思维的探究性学习.问题驱动下的数学教学是用数学问题组织教学，通过问题驱动学生学习数学知识.苏格拉底认为，教学生不是直接教给学生知识，而是将原本存在在学生心灵深处的知识引导出来；问答式教学应该教学生认识真理的方法，而不是直接将现成的真理教给学生，教师在引导学生认识真理的过程中起助产的作用.

本课中，教师以“问”为导向，层层设问.用“问”让学生理清思路；用“问”来追溯本源；用“问”来引领学生深入思考；用“问”来引导学生及时归纳概括.

这种问题驱动的学习模式不以教学为中心，而是以问题为中心，通过对问题的回答反映学生的学习成效，引发学生的深度思考.在学生学习的各个阶段，学习过程必须基于已学知识，以及学科知识的学习或学习框架的构建，将学生的思维能力、解决问题的能力，以及掌握学习方法的能力加以提高，促进了学生自主学习的能力，从而提升学生的数学核心素养.