例谈纸片在初中数学实验中的教育功能

魏玉华

（江苏省苏州高新区实验初级中学）

数学实验是学生运用有关工具（如纸片、剪刀、模型、测量工具、作图工具，以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的验证或探究活动.近年来，数学实验在初中数学教学和教研中蓬勃发展，从理论探寻到实践研究，从实验设计到工具开发，数学实验正悄然改变着初中数学教与学的方式.在众多的实验工具中，纸片以其易观察、可移动、成本低、易操作等优点，被广泛应用于数学实验教学中，并在不同层面发挥着诸多教育功能.

一、从知识理解看：促进知识的意义建构

数学概念和定理是数学知识体系的基本单位，让学生正确理解、掌握和运用数学概念和定理是教学中一项非常重要的任务.数学概念和定理的教学，通常包含三个环节：概念（定理）的引入、概念（定理）的讲解、概念（定理）的运用和巩固.这三个环节是一个循序渐进、环环相扣的有机整体，缺一不可.在实际教学中，常有忽视前两个环节，将概念、定理课上成习题课的情况发生，从学生的认知发展规律来看，不利于学生对概念和定理的理解，也不利于学生能力和素养的提升.某些概念和定理具有一定的抽象性，倘若借助数学实验，选取适当的教学工具，在“做”中实现概念、定理的意义建构，这对概念、定理的学习是非常有意义的.

案例1：图形的旋转.

活动1：操作与观察.

（1）将透明纸覆盖在图1中的△ABC上，描出△ABC，用大头针在点C处将透明纸片固定，再将透明纸片上的△ABC逆时针旋转一定的角度，得到△DEC.∠ACD和∠BCE有怎样的数量关系？改变旋转的角度和方向，结论依然成立吗？

图1

（2）将透明纸片分别覆盖在图2、图3的△ABC上，描出△ABC，用大头针在点O处将透明纸片固定，再将透明纸片上的△ABC旋转到△DEF的位置，说出旋转方向和旋转角度.

图2

图3

（3）图形旋转前后，其形状和大小有怎样的变化？

活动2：操作与思考.

（1）将透明纸覆盖在图4的△ABC上，描出△ABC，用大头针在点O处将透明纸片固定，再将透明纸片上的△ABC顺时针旋转一定的角度，得到△DEF.连接点O与三角形各顶点，图中有哪些相等的线段和相等的角？改变旋转的角度和方向，结论依然成立吗？

图4

（2）图5和图6中的△ABC经过旋转可以与△DEF重合.试确定图4和图5的旋转中心O，并借助透明纸进行验证.说说你是怎样确定旋转中心的？

图5

图6

活动3：思考与画图.

（1）在网格纸中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°，180°，270°后的图形；

（2）画出将四边形ABCD绕点O按逆时针方向旋转120°所得到的四边形.

通过对摩天轮、钟摆旋转的观察引入课题，此时对旋转概念的理解是初步的，对旋转三个要素的认识还不够清晰.通过“操作与观察”环节（1）中的操作活动，借助透明纸的可覆盖、可移动、易观察的特点，使旋转不仅可视化，而且可操作化，在动手实践中感受旋转是图形绕一个定点转动一定角度的图形运动，体会旋转中心、旋转方向、旋转角在旋转运动中的作用.通过环节（2）及时巩固旋转的概念及三要素.在环节（1）（2）的基础上获得旋转的第一个性质，即旋转不改变图形的形状和大小.

“操作与思考”环节（1）是对旋转性质的进一步探究，通过图4的操作获得猜想，借助透明纸的可移动性，旋转任意的角度来进一步检验猜想.环节（2）是对性质的应用，先确定旋转中心，再借助透明纸进行验证.

“思考与画图”是对概念和性质的综合应用.有了前面两个环节的铺垫，此时学生可以脱离透明纸的辅助，利用获得的旋转的性质，熟练画出旋转后的图形.

二、从情感态度看：激发学生的学习兴趣

提起数学，很多人联想到的是数字、符号、定义、定理、计算、证明……很多学生对数学望而生畏，甚至讨厌数学.笔者认为，学生只看到了数学的一个方面，更为准确的说，是教师只为学生呈现了数学的一个方面，使得数学像置于X光下的妙龄少女，看到的只有骨骼.数学也有有趣和赏心悦目的一面，这一面可以改变学生对数学固有的认识，激发学生的学习兴趣，而实现这一转变的方式有很多，或许只用一张小小的纸片就可以实现.

案例2：设计轴对称图形.

活动1：欣赏.

（1）欣赏生活中的各种标志，观察哪些是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴.

（2）欣赏一组剪纸作品，观察哪些是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴.

（3）仔细观察这些轴对称的剪纸作品，说一说它们是如何剪出来的？

活动2：剪纸.

（1）取一张矩形纸片，将其对折后展开，沿着对折线画出如图7（1）所示的图案，再将其沿对折线折叠后，沿着图案的轮廓线剪下，展开后，你看到了怎样的图案？它是轴对称图形吗？为什么？

图7

（2）取一张彩色纸片，用上面的方法设计并剪出一个轴对称图形.

活动3：剪出有多条对称轴的轴对称图形.

（1）选取一张正方形纸片，按如图8所示的步骤折叠，在折叠后的纸片上画一个图案，沿着图案的轮廓剪下并展开，观察图案并思考：这个图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

图8

（2）取一张彩色正方形纸片，仿照上面的方法设计并剪出一个有3条对称轴的轴对称图形.

设计轴对称图形是苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第二章第三节的内容，在此之前学生刚掌握了轴对称与轴对称图形的概念、轴对称的性质.本节课旨在通过欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，帮助学生感受数学丰富的文化价值，使学生能够利用轴对称设计简单的图案.在实际教学中，很多教师将这一课时用很短的时间一带而过，甚至直接跳过.这样处理看似没有知识上的缺失，甚至节省了教学时间，但是却忽视了学生情感的共鸣、数学文化的熏陶，以及创新能力提升的机会.笔者按照上述三个环节开展教学，循序渐进地带领学生欣赏美、创造美，学生十分感兴趣，不仅巩固了知识，而且体会了数学中的对称美，更是发挥了各自的想象力和创造力，呈现了许多有寓意、有创造性的剪纸图案，对后续学习产生了积极的助推作用.

三、从能力培养看：培养学生的实践能力

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除了接受学习以外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程.

案例3：探究无盖长方体纸盒的最大容积.

活动1：操作与比较.

取一张正方形纸片按如图9所示的方法进行操作.

图9

（1）与同伴制作的无盖长方体纸盒进行比较，估计谁制作的无盖长方体纸盒容积要大一些？

（2）猜想：在什么情况下，制作的无盖长方体纸盒的容积最大？

活动2：计算与发现.

（1）若正方形纸片的边长是10 cm，随着减去的小正方形边长的变化，所制成的无盖长方体纸盒的容积是怎样变化的？

（2）在上述计算过程中，你发现该纸盒的容积是如何变化的？你有何猜想？你还可以继续探究下去吗？试试看.

活动3：实践与应用.

（1）利用一张边长为60 cm的正方形纸片，制作容积最大的无盖长方体纸盒，如何制作？

（2）利用一张长30 cm、宽20 cm的长方形纸片，制作底面积为200 cm2的无盖长方体纸盒，请设计制作方案.

本实验是一个实践性强、探究味十足的数学实验.首先通过制作无盖的长方体纸盒，让学生直观感受到纸盒的容积有大有小，进而探寻影响无盖长方体纸盒容积的因素，为接下来的探究做准备.接着，通过计算初步验证：无盖长方体纸盒的容积随剪去的小正方形的边长的变化而变化，并从数据中发现变化规律，随后进一步探究、验证规律.最后，通过建立一元二次方程模型来解决实际问题.

四、从思维提升看：发展学生的直观思维

直观思维是不经过逐步分析，而迅速对问题的答案做出合理的猜测、设想或顿悟的一种跃进式思维.逻辑思维是人脑的一种理性活动，是把感性认识阶段获得的对于事物认识的信息材料抽象成概念，运用概念进行判断，并按一定逻辑关系进行推理，从而产生新的认识.逻辑思维具有规范、严密、确定和可重复的特点，是一种重要的数学思维.在实际教学中，常有忽视直观思维，过分重视逻辑思维的情况发生，考虑到初中生的年龄特征和思维发展水平，在学习中仍需借助直观感知来理解知识，这就需要教师创造合适的情境，借助恰当的实验工具，加以引导.

案例4：分割三角形.

活动1：分割等腰三角形.

通过折纸，分别将顶角为36°、顶角为90°、顶角为108°的等腰三角形分割成两个小等腰三角形.说说你的分割过程.

活动2：分割直角三角形.

（1）将普通的直角三角形纸片分割成两个小等腰三角形.探究这条折痕的长和直角三角形斜边长的关系，你有怎样的发现？再任取一张试试看，结论依然成立吗？

（2）将含30°角的直角三角形纸片分割成两个小等腰三角形.探究各条线段的长，你有怎样的发现？说明理由.

活动3：分割一般三角形.

（1）如图10所示的锐角三角形和钝角三角形纸片，分别在纸片上画一条线，将每个三角形分割成两个三角形，使其中一个是等腰三角形，试试看.这样的分割线最多能画多少条？并与同伴交流.

图10

（2）不同分类下产生的分割线会不会重合呢？在怎样的条件下会重合？借助几何画板软件验证你的猜想.

案例4中的三个实验活动均具有直观性、操作性等特点，且循序渐进，可以通过“观察—尝试—验证—说理”等过程完成探究.观察是一种直观感知，尝试是将感知付诸实践操作，验证是初步检验尝试的正确性，说理则跳出感性上升到理性，四个环节的思维活动水平逐步提高，活动3更是具有发散性和探究性，如何分类讨论？何时分割线重合？对学生思维品质的要求更高.

小小的纸片看似平常无奇却在数学实验中发挥着巨大的教育功能：促进知识的理解、激发学生的兴趣、提高学生的能力、提升数学思维、改进教学形式，等等.真正做到了从转变教师教的方式，到转变学生学的方式.实现从“学数学”到“做数学”到“玩数学”的转变，真正做到了手脑协同、启思明理、关注能力、提升素养.