启发学生思考的两个策略——以“认识不等式”的教学为例

王万丰

（浙江省台州市路桥实验中学）

初中阶段是学生思维发展的黄金时期，也是学生思维建构最有效的阶段，因此在课堂教学中要最大限度调动学生思考的积极性，让学生在学习的过程中始终在主动思考，而不是以被动接受的方式进行机械地学习，努力让思考成为一种习惯.本文以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）“认识不等式”的教学实录为例，从类比思考和追问两个角度谈一谈启发学生思维的两个策略.

一、类比思考是启发思维的源动力

类比既是一种思想，又是一种教学方法，是指由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的一种推理方法.采用类比教学，可以使数学学习更生动、更简单，实现以简驭繁.通过概念的类比，理解概念本质；通过知识结构的类比，构建知识网络.

1.深刻理解教材，类比等式构建不等式的研究主线

方程与不等式同属于“数与代数”体系中的两块内容，在研究不等式之前，学生已经系统的学习了一元一次方程的相关知识，具备了研究方程的套路与方法.例如，会用方程表示实际问题中的等量关系，会应用等式的基本性质解一元一次方程，能够通过建立方程模型解决简单的实际问题等.而“不等式”这章的主要内容包括不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法、利用不等式（组）分析、解决实际问题等，从内容结构上看，这两章具有高度的相似性.在教学中，若是能发挥先行组织者的积极作用，通过类比等式研究的套路得出研究不等式的研究套路，则会对学生整体掌握数学知识有显著的帮助，对发展学生的数学活动经验也会有积极的作用.

基于以上认识，在教学过程中，教师应该先引导学生构建研究等式的知识网络，通过类比让学生构建出研究不等式的思路与方法，并构建如下的知识框架图.

实际上，数学各部分知识之间存在着紧密的联系，类比就是联系各部分知识的纽带，通过类比，可以加强知识间的对比，又可以鲜明地展示知识的获取过程，形成清晰的知识脉络；同时，知识结构的类比可以让学生深刻理解所学知识，从而使学生对研究数学的基本套路有深刻的认识，对培养学生的学科素养有非常重要的作用，如果教师在数学课堂上能高频率的运用类比思想，相信有些知识学生会不点自通，从而实现自主学习和学会学习的目的，实现教是为了不教的终极教育目标.

2.创设情境，类比等式促进不等式概念的生成

数学概念是整个数学知识结构的基础，概念的教学是进行能力训练及实施素质教育的重要渠道.正如李邦河院士所说：数学是玩概念的.由于数学概念具有高度的概括性与严谨性，因此教师在新概念的教学中若能将其与已知概念联系在一起，用类比的方式来教学新概念，则学生会比较容易接受，同时对突破教学难点、提高学生的理解力也可以起到很大的推进作用；另外，将类比法引入新概念的教学，也能够帮助学生更好地理解新概念的内涵与外延.

为了顺利从等式的概念类比到不等式的概念，笔者对教材中的问题情境进行了改编，设计了一组既含有等式，又含有不等式的实际问题情境，通过数学抽象，得到如下一组关系式.

①x=5；②x＞5；③4a=12；④t≥11；⑤v≤80；⑥p+2＞q；⑦x≠3.

接下来，笔者设置了两个数学活动：首先，让学生对以上关系式进行分类，学生可以将关系式分为两类：含有“等号”式子为一类，其他为一类；然后，通过回顾等式的概念，类比等式的概念得出不等式的概念为“用不等号连接的式子为不等式”.在等式与不等式的类比中，感悟不等式与等式的共同点与不同点，建立起两个概念之间的联系，从而帮助学生更深刻的理解不等式概念的内涵.

我们知道，概念的教学不只是要告诉学生“什么是”或“是什么”，还要让学生了解“为什么是”.通过设置类比的数学活动，不等式概念的得出完全是由学生自主习得，既有效的启发了学生的思维，又提高了学生的创新思维能力，还让学生了解了概念的生成背景和引入新概念的理由，体会到“不等式”是构建实际问题中不等量关系不可或缺的模型，了解它在数学体系中的作用和地位，使学生充分理解不等式概念的内涵与外延.

3.创设生活情境，类比生活实际得出在数轴上表示不等式解集的方法

在教学过程中，教师要注重引导学生领悟数学源于生活，又应用于生活，特别是要擅长打比方，把一些抽象的数学问题与学生的生活实践进行类比，既能增加趣味成分，激发学生的学习兴趣，又能启发学生的思维，将抽象的数学问题具体化，更有利于数学问题的解决.

在“认识不等式”这节课中，用数轴表示不等式的解集是本节课的难点，用空心点和实心点区分包括与不包括是学生的易错点.教学中，笔者设计了用“数字排队”与“用数轴表示不等式解集”进行类比.具体如下表所示.

__________排队现象___请学号为2的同学______________来排队__请学号大于12的同学来__________排队请学号为12～20（包括12和20）的同学来排队___________________________________排队时有一位同学请假，他的位置是空的______________用数轴表示数（数集）__在数轴上表示x=2____在数轴上表示x＞12____在数轴上表示12≤x≤20用空心表示“不包括端点的数集”_______________

学生对排队的实际情境十分感兴趣，学习主动性很快被调动了起来，通过类比“学生的排队”，学生迅速理解了在数轴上表示不等式的实质是让“数”来排队，通过“请假同学的位置是空的”类比得出“用空心来表示不包括端点的数集”，既生动，又形象.正如俄国教育家赞可夫所说：教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，这种教学法就能发挥高度的效用.

二、追问是启发思维的助推器

追问作为课堂提问的重要组成部分，是教师在学生回答问题的过程中富于启发的动态连续性提问，也是教师提问策略中的一种重要手段与深化门径.有效追问能最经济地启发学生，拓宽思维、加深思维、提升思维，也能够将教师的业务水平与能力最为淋漓尽致地体现出来.在本堂课的教学过程中，教师多次使用追问促进学生有效的思考.

教学片断1：当学生得到上述7个关系式后，笔者通过追问让学生得出“不等式”的概念.课堂教学过程如下.

师：大家看上述式子是同一类型的吗？如果不是，你能对它们进行分类么？

生1：①③为一类，其他为一类.

师：你分类的标准是什么呢？

生2：①③是含有“等号”的，其他的没有.

师：我们知道，用等号连接的式子叫做等式，你能给其他式子命名吗？

生3：不等式.

师：你能给“不等式”下个定义吗？

生4：用不等号连接的式子叫做不等式.

师：那什么是“不等号”呢？

生5：像“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”这类的符号统称为“不等号”.

通过实际问题情境得出一组式子后，笔者设计了一组连续的追问，通过等式与不等式的类比，自然流畅地得出了不等式的定义，有效完成了概念的构建.

教学片断2：在教学用数轴表示不等式时，笔者先类比体育课上的排队，接下来设置了如下问题.

师：其实数学课上，我们可以让数字来排队，例如，下口令x=2的数来排队后，有几个来？

生6：一个.

师：排在什么位置？如何表示？

生7：数轴上表示2的点，用一个实心点即可表示.

师：如果再下口令，表示x≥2的数来排队了，有多少个数来？

生8：无数个.

师：这些数排在什么位置？

生9：2的右边.

师：2来吗？

生10：来.

师：很好，怎样表示这些数的位置呢？

接下来师生共同探讨方法……

师：表示x＜2的数来排队，有多少个数来？它们排在什么位置？

生11：无数个，排在2的左边.

师：2来吗？

生12：不来.

师：如何表示在这个集合里没有2？

师生类比学生请假时座位空着，用空心点来表示.

教师的追问是学生进一步探索的“钥匙”，能有效促进学生积极的思考.当学生的思考缺乏深度时，教师要通过一环扣一环的“追问”，不断地挖掘，帮助其实现深度思考，使其知其然，并能知其所以然.本环节的教学中，通过追问，帮助学生类比实际生活情境得出表示方法，自然而深刻.因此，教师的有效追问，能诱发学生的学习动机，思维的积极性也就会自然产生，教师再辅以恰当的启发、点拨，就能加深学生对所学知识的理解，训练学生思维的敏捷性.

数学教学是数学思维活动的教学，是通过师生、生生之间的交流，达到共同发展的过程，教师是数学活动的引导者、组织者与合作者.鲜活、灵动和智慧的课堂与课堂上巧妙的追问是分不开的.教师只有深层次地挖掘教材，设计有利于学生个性化思维发展的问题，才能激发学生乐于表达的欲望，从而发展学生的思维能力.因此，把握好数学课堂教学的目标与节奏，及时有效地进行追问，充分展现学生的思维活动，才能让数学课堂充满思考味.