基于“三教”理念的初中几何教学的认识与思考——以“三角形内角和定理”的教学为例

邓 清，夏小刚

（贵州师范大学数学科学学院）

在全面深化课程改革的大背景下，贵州师范大学吕传汉教授提出在数学教学中教体验、教思考、教表达（以下统称“三教”）的教育理念，旨在促进学生核心素养的提高.主张教体验，让学生会用数学的眼光观察世界，学会“做数学”，获得个人学习体验；教思考，让学生会用数学的思维分析世界，学会“想数学”，促进学生思辨能力的培育；教表达，让学生会用数学的语言表达世界，学会“说数学”，表达、交流加深思考.最终达到培养学生核心素养的目的.

其中，体验是思考的基础，思考贯穿“三教”理念的始终，表达是对思考的升华.体验的目的是为了获得数学思考，促进学科领悟，丰富的体验形成丰富的思考，深入的体验获得深刻的思考；思考是在体验中形成的，学生深入细致的思考又可以获得新的数学体验；深入的体验和思考是清楚表达的前提，而教表达的目的，一方面，是为了强化学生数学交流的能力；另一方面，也是为了加深理解、升华思考、增长智慧.可见，在“三教”理念中，教思考是核心，三者各司其职，又相互配合、相互促进，整体呈螺旋上升状态.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将“图形与几何”的课程内容分为三个学段，其中初中几何课程内容为第三个学段.三个学段对“图形与几何”部分从内容和思想方法上的呈现也是螺旋上升的形式.与前面两个学段相比，学生对图形的认识从整体转移到局部，更注重学生对图形的抽象能力与直观体验；逐步从直观几何、实验几何过渡到演绎几何，对学生推理能力的要求有所提高；更重视使用符号语言对几何图形进行描述，对学生几何表达能力要求提高.而教体验、教思考、教表达都有意地在培养学生以上相应能力.下面，研究将以“三角形内角和定理”教学为例，以点概面，着重从教体验、教思考、教表达三个方面阐述对初中几何教学的认识与思考，并提出相应的教学建议，供大家参考.

一、教体验，重在促进学生的数学领悟

在数学课程中，“体验”指的是参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，以获得一些经验.由此可见，学习体验是基于学生自己的学习活动，是学生在活动经验基础上的反思、领悟与升华，是学生个体内化的经验.教体验，教师的主要作用是创设与引导.教师应创设恰当的学习情境，给学生搭建体验的平台，引导学生进行学习体验.

《标准》在“图形的性质”中，较多地使用了“探索并证明……”的表述.它既重视运用演绎推理证明命题的正确性，也重视运用合情推理发现命题的正确性，以及对问题的结论进行猜想，是合情推理与演绎推理并用的过程.教师在几何教学过程中，应该根据学生的已有认知与活动经验，创设适当的教学情境，引导学生根据已有的知识和经验，借助图形的直观，通过实验操作，运用合情推理等方法，探索、发现图形可能具有的性质.在学生对问题的结论有一定猜想与假设的情况下，再引导他们进行后面的论证，即演绎推理环节.

例如，北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册第七章第6节“三角形内角和定理”的教学中，教师在向学生呈现定理之前，应创设一定的数学情境，让学生在经历“量一量”的定量研究后，提出定性研究的必要性.引导学生通过动手剪一剪、拼一拼的方式对情境中的问题进行动手操作，体验定理的发生过程.不同的学生有着不同的数学现实，也就有着不同的体验方式，有学生可能会想到用折纸的方式（如图1），也有学生可能会想到剪拼的方式（如图2）.教师在学生动手实践的过程中应该鼓励学生的不同发现，关注学生的体验过程.

图1

图2

教师为学生创设情境，让学生根据已有经验经历实验探究、直观想象、数学抽象、归纳推理、演绎推理等过程，不仅让学生更为深刻地理解了定理的发生、发展过程，更让学生在体验中逐步掌握了几何证明的一般探究过程，发展与积淀了相应的数学思想.

二、教思考，重在养成学生的数学思维习惯，改进其数学思维品质

思考，是指进行比较深刻、周到的思维活动.教思考，更多的是针对数学内部的逻辑体系.从具体情境中抽象出数学问题后，应该注重引导学生有逻辑地进行思考，在数学思考中进行启发，以养成学生的数学思维习惯，改进学生的数学思维品质，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力.

在教学过程中，要教学生思考.首先，教师应该思考教学内容中蕴涵哪些数学思想方法，这些思想方法在知识、技能中是如何呈现的.初中教材中“图形与几何”部分用到的大部分图形都在第一、二学段接触过，学生在这两个学段对这些图形掌握到什么程度？本节课的教学内容要达到什么目标？问题情境应该如何创设？这些都是教师在教学前应该了解、思考的问题.其次，教师应该引导学生理清知识脉络，并注重对学生的问题意识的培养.再次，教师要注重以问题的形式引导学生针对研究问题具体地、一步一步地思考.例如，你要解决的问题是什么？你能马上得出这个结论吗？由条件你能得到什么结论？这些结论足够解决这个问题吗？还有没有其他的隐含条件？能不能进行适当地转化？可不可以倒过来想？等等.在教思考的过程中，更应该注重渗透教学内容在教材中所体现的思想方法，特别是哲学层面的数学思维方法.例如，形象、抽象、概括、归纳、演绎、分析、综合，等等.

“三角形内角和定理”教学中，在学生经历了动手操作、直观体验后，可以引导学生思考：（1）上述操作过程能否算是对三角形内角和定理的证明呢？让学生体会操作对象不具有普遍性，因而不能作为证明依据.（2）写出已知、求证后，由学生分组讨论解决问题的思路，让学生思考能否直接得出三个内角的和为180°的结论.（不能.）（3）能添加适当的辅助线吗？经过这一启示，大部分学生都能构造如图3、图4所示的辅助线.（4）添加辅助线后，教师可以通过问题串的形式引发学生思考：根据你添加的辅助线，现在已知条件有些什么？根据条件你能得到什么结论？（根据两直线平行，可以得到内错角相等、同位角相等.）（5）现在你可以证明了吗？这个启发和引导的过程，就是教师教学生思考的过程.

图3

图4

学生在由合情推理过渡到演绎推理阶段，对几何演绎推理的过程是陌生的，教师通过问题串的形式对学生进行追问，实质上是一个启发学生思考，使其养成演绎推理的思维习惯的过程，并向学生渗透了数学抽象和数学转化的思想.

三、教表达，重在强化学生的数学交流

本研究中的“数学交流”主要是指在课堂或课外学习过程中，学生彼此能够将自己习得并理解的数学知识、技能、思想方法、情感态度等以口头或书面的形式传递给对方.教表达，就是让学生“说数学”，能够将自己头脑中的数学知识、技能、思想方法、情感态度等以口头或书面的形式表现出来.

苏霍姆林斯基认为，能触及孩子心灵的是教师活生生、热情的个性，教师在传授给学生的那些信念和思想时，能够生动地、热情地表达自己，才能使自己的思想和信念进入他们的心灵.吕传汉教授特别注重学生的表达能力，他提出：表达是一种十分重要的软能力，引导学生学会表达，让学生在生生互动、师生互动中碰撞思维，在表达中倾听，在倾听中交流，在交流中思考，促进学生加深对知识的理解，增长智慧、获得体验、积淀素养.教师在教学过程中，要注意引导学生“说数学”，用数学的语言表达世界.

在“教表达”的过程中，有几点值得注意.首先，学生的表达，要基于学生自己的思考，学生对呈现出来的数学材料，包括教材中的数学问题、教师创设的问题情境、其他学生表达的内容，学生都应该先有自己的思考，然后再进行有见解的表达.其次，“教表达”，要注意数学语言的转换.数学语言包括符号语言、文字语言和图形语言三种.初中几何教学中，特别重视数学语言之间的转换.再次，学生的表达，也是对自己思维的反审认知过程，有助于改进学生的思考，升华数学思想.

例如，在“三角形内角和定理”的证明过程中，教师可通过以下步骤引导学生表达：（1）让学生先理解定理的内涵，然后结合自己的理解表达出已知条件和未知条件.（2）以口头表达或以书面表达的形式将文字语言转化为图形语言和符号语言，学生在转化过程中，也就弄清了问题思考的方向.（3）引导学生表述自己的问题解决思路，在学生的表述过程中，教师要注意进行引导和追问.例如，我们以前学过有什么角或者是角的和为180°吗？平行线具有什么性质？可以借此将三角形的三个内角进行转化吗？如何转化？（4）现在能证明三角形内角为180°这个定理了吗？你还有没有其他方法？你能总结出解决此类问题的一般方法吗？（5）现在对你的解决思路进行反思，想想你为什么会想到借助平行线解决问题？你现在明白初中几何证明的基本思想了吗？

教师在引导学生思考和表达的过程中，不仅培养了学生的数学交流能力，而且培养了学生善于思考的习惯，同时还让学生在反思中获得了初中几何证明的基本思想领悟：新学一个定理的时候，总会想到用数学转化的思想将其转化为我们已经学过的定理和性质，我们也常常利用已学知识去证明、学习新的定理及知识.

四、总结与建议

通过上面教学案例的展现与研究，不难发现，在教学过程中，通过引导学生“做数学”，能够使学生获得几何图形的直观体验和思想方法体验，为抽象概括奠定基础；引导学生“想数学”，可以培养学生对几何图形的逻辑推理能力，养成良好的几何思维习惯；引导学生“说数学”，能够升华学生的数学思考，规范和明晰演绎证明的符号语言和推理逻辑.

以“三教”教育理念为指导的几何教学，引导学生经历从实验探究到推理论证的过程中，为学生搭建数学活动平台，体验知识、数学思想等发生与发展的过程；在学习过程中指导学生掌握解决几何问题的基本思维方式，并领会哲学层面的思想方法；引导学生将自己的体验和思考用数学语言流畅地表达出来，并能熟练地进行数学语言之间的转化，提升学生的数学思考和数学思维品质，最终达到培养学生核心素养的目的.