“二次函数的性质”习题课的教学实践

李春梅，王红权，应佳成

（浙江省杭州市第十五中学教育集团（总校）；浙江省杭州市基础教育研究室；浙江省杭州市富阳区教育局教研室）

一、内容与内容解析

1.内容

本节课为浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“1.3二次函数的性质”的习题课.

2.内容解析

二次函数是最简单的非线性函数，是刻画匀变速运动的基本模型.二次函数性质在整个函数学习过程中具有特殊的地位，因为一次函数和反比例函数的性质单调，不具备函数性质学习的一般范例特征.研究二次函数性质的方法和过程具有一般性，容易迁移到其他函数的研究中去.初中生研究二次函数的性质应该从函数图象的直观入手，辅以适当的代数推理，通过数形结合把函数、方程和不等式整体处理，利用函数研究的一般观念多视角刻画二次函数的性质.

笔者用如图1所示的框图表示本单元的知识结构.

图1

本节课中，通过三个层次来引导学生学习二次函数：第一，把二次函数作为一种特殊函数，研究其特有的性质；第二，研究二次函数的一般性质，类比其研究方法和过程来研究其他函数；第三，二次函数和与之对应的一元二次方程和一元二次不等式有紧密联系，通过研究其相互之间的关联，深刻理解二次函数的本质.因此，学习二次函数，不仅需要掌握函数图象的开口方向、对称轴、最大（小）值、顶点及单调性等，还需要揭示二次函数图象的位置特征、图象的几何特征、函数性质的代数刻画，以及函数与方程、不等式的内在联系，体会其中蕴涵的数学思想方法（数形结合、分类讨论、化归归纳、方程思想等）.

由此确定从数和形两个视角重构二次函数的性质为本节课的重点和难点.

二、目标与目标解析

1.目标

（1）借助一个具体二次函数的学习，回顾梳理二次函数的基本性质.

（2）借助图象直观发现二次函数的性质，通过代数推理论证性质，体会数形结合思想.

2.目标解析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于二次函数性质的表述为：会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴.显然，这都是从数形结合的视角阐述二次函数的图象和性质，不涉及研究抛物线的解析几何属性，所以不需要利用高中的解析几何的内容.用数形结合的方法来研究二次函数的性质，这是本节课的设计立意所在.

三、教学问题诊断

与已学过的一次函数和反比例函数相比，二次函数不但具有单调性，而且新增了对称、最值等新的性质，这会使学生的学习遇到困难.学生习惯于借助图象观察和归纳函数的性质，不习惯借助解析式进行代数推理，这会成为学生学习的障碍.针对这些问题，课堂实施时既要发挥函数图象直观的关联作用，也要结合代数推理进行严密推导，从而发现并证明二次函数的性质，突破难点.

四、教学过程

1.教学流程呈现

本节课的教学流程如图2所示.

图2

2.教学环节呈现

环节1：引入.

问题1：已知二次函数y=-x2+2x+3，说说这个函数有哪些性质？

课堂教学对问题的选择宜从简单开始，y=-x2+2x+3就是这样一个简单函数.学生相互交流5分钟之后得出如下性质.

学生先行：（1）因为a＜0，所以此抛物线的图象开口向下；（2）顶点坐标为(1 ， 4)；（3）对称轴为直线x=1；（4）与坐标轴交点坐标为(-1，0)，(3 ，0)，(0 ，3)；（5） 增减性：当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；等等.

教师断后：（1）研究一个具体的函数，一般可以从画函数的草图入手，然后利用草图提供的信息先研究其位置，并提炼确定位置的要素；通过草图归纳函数的性质，如单调性、对称性、最大（小）值，等等，并确定决定这些性质的要素；最后研究函数和与之对应的方程、不等式之间的关联信息，等等.（2）此题主要研究了如下内容：①位置信息：开口方向和顶点坐标是确定二次函数位置的两个要素，图象与坐标轴的交点坐标、弦长、顶点高低等为衍生信息.②函数性质：单调性和对称性是二次函数的主要性质，对称轴、最大（小）值等为衍生信息.③函数与x轴的交点坐标(- 1，0)，(3 ，0)与方程-x2+2x+3=0解的关系；不等式y≥0或y≤0的几何意义，等等.

追问：请同学们按照这一思路，对上述成果进行分类和补充.

【评析】通过解决问题1，培养学生的画图、用图和识图能力.函数的研究需要借助图象直观.教师可以通过画图，引导学生学会观察、归纳和挖掘图象中蕴含的直观信息，从而归纳函数的性质.问题1中，从一个特殊函数开始，减轻学生的认知负荷，有利于挖掘出丰富性的信息，为进一步归纳函数的性质提供保障.通过学生先行交流和教师断后，梳理出研究函数的一般方法，聚焦本节课要研究的函数性质，即单调性和对称性.

环节2：辨析.

问题2：已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0 )的图象如图3所示，对称轴为直线x=1，试判断a+b+c与am2+bm+c（m为不等于1的实数）的大小关系，并说明理由.

图3

在解决此题之前，为帮助学生理清思路，教师提出如下问题：

（1）此题只提供了对称轴，对称轴除了与增减性、对称性有关，还与哪些性质有关？

（2）a+b+c的一般意义是什么？在此题中又有什么特殊意义？

学生思考教师提出的问题（1）（2）后，针对问题2得出如下结论：

（1）因为对称轴和抛物线的交点是顶点，所以a+b+c为函数的最大值，而am2+bm+c表示某一个函数值，所以a+b+c＞am2+bm+c.

（2）用作差的方法比较大小.因为m≠1，所以(a+b+c)-(am2+bm+c)=(1-m)[a(1+m)+b]=(1-m)·[a(1+m)-2a]=-a(m-1)2＞0.

教师断后：（1）因为函数的增减性，才有函数的最大（小）值，如当二次函数图象开口向下时，则函数值从左向右先增后减，函数有最大值；当开口向上时，则函数值先减后增，函数有最小值.（2）一般情况下，a+b+c为x=1时的函数值.此题中，因为x=1是对称轴，所以其对应的函数值是最大值.（3）不等式a+b+c≥am2+bm+c刻画了最大值的代数意义.

追问：设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）.

（A）若m＞1，则(m-1)a+b＞0

（B）若m＞1，则(m-1)a+b＜0

（C）若m＜1，则(m+1)a+b＞0

（D）若m＜1，则(m+1)a+b＜0

【评析】（1）单调性是函数最为重要的整体性质.因单调性而产生极值，当函数是二次函数时，即存在最大值或最小值.这是一次函数和反比例函数所不具有的性质，所以尤其重要.（2）引导学生从图象直观和代数意义去理解最大值或最小值，函数的最大（小）值即为图象顶点的纵坐标.在坐标系下，被表征为顶点位置的高低；在不等式意义下，即或，让学生体会图象直观的简明和代数推理的严谨，培养学生从不同视角思考问题的习惯.（3）数学问题的自然语言刻画、图象语言刻画、符号语言刻画及其相互转换，是学生学习数学必须积累的基本经验，为其他问题的解决做好铺垫.

环节3：拓展.

问题3：（1）已知二次函数y=-x2+2x+3，若存在m，当x≤m时，y随x的增大而增大，求实数m的取值范围.

（2）已知二次函数y=-x2+2mx+3，当x≤-1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围.

教师引导学生进行如下分析：从图象直观出发，第（1）题中，函数图象的对称轴是x=1，抛物线开口向下，即当x≤1时，y随x的增大而增大，所以m≤1.第（2）题中，函数中含有字母m，因为开口向下，所以在对称轴左侧就能保证递增，所以m≥-1.

追问：用代数推理的方法怎样思考此题？

生1：第（1）题还可以这样解.因为当x≤m时，(-x2+2x+3)-(-m2+2m+3)=(m-x)(m+x-2 )≤0恒成立，所以只要m+x-2≤0恒成立，即m≤2-x恒成立.又因为2-x的最小值为2-m，所以m≤2-m，即m≤1.

生2：第（2）题也有代数解法.由题意知-x2+2mx+3≤-1-2m+3.得2m≥x-1.若此不等式总成立，只需要2m≥(x-1)max=-2，所以m≥-1.

教师断后：在第（1）题中，尽管x的范围在变，但对称轴x=1不变，利用图象直观，可以发现m≤1；在第（2）题中，对称轴在变，但x的取值范围x≤-1不变，同样可以利用图象，直观地知道m≥-1.生2的解答也是正确的，把显而易见的几何直观以精确的代数解释.对同一个问题，用两种语言描述，有两种不同的体验.正如华罗庚先生说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.当然，对初中生来说，利用图象直观解决问题是很重要的.

【评析】（1）问题3中的两道题是一个问题的两个方面，如何抓住问题的不变性是解决问题的关键，这需要学生经历和体验.（2）数和形之间的内在联系，对形而言是显性的、直观的，对数而言是内隐的、抽象的，只有经历这种对比，才能积累认知的经验.（3）建立“解题序”的观念，即解题要讲究“序”，这种“序”在解题中被表征为对问题中不变性的发现和利用.

五、教学反思

图象直观是学生思维的起点，初中生对二次函数性质的学习依赖于函数图象.在教学中，教师可以放手让学生自己画图，借助图象发现变量在变化过程中的不变性.画图的过程不仅是自然语言、数学语言和图形语言的互译过程，也是观察、思考和体验的过程.本节课选用的例题利用几何直观都可以解决，但为了将学生的思维引向深处，加入了代数推理，使形和数有机结合，让学生进一步体会形之直观和数之深微，两者相互印证，这是理解数学本质的关键，也是理解数形结合思想难得的好例子.

本节课中，教师采用“学生先行、交流呈现、教师断后”的教学方法，让学生有时间思考，有机会表达，在交流和碰撞中增加对知识的理解；通过教师断后，使学生对问题的认识更加深入、更加系统，逐步构建起认识数学的能力和解决数学问题的方法.由此可以看出，题目千变万化，唯有抓住问题的本质才能以不变应万变.