问题驱动 引导深度教学——以“排列”教学为例

徐 睿

(江苏省昆山中学 215300)

我们在每天的教学中都会思考这样的问题：如何提高学生学习的学习兴趣？如何激发学生的积极性与主动性？如何使课堂效率更高？当学生对课堂产生了好奇、疑问，自然就有了学习动机，对学习产生了兴趣.课堂教学若能科学而又有艺术地设计一些能解决核心问题的问题，就能调动学生的积极性.

一、教材分析

“排列”是苏教版《数学选修2-3》第一章第二节课，教科书通过具体实例归纳出排列的概念，再运用分步计数原理得到排列数公式.排列以计数为主要内容，它不仅应用广泛，能为学习统计、概率及高等数学有关分支准备知识基础，同时也能大大提高学生的抽象思维和逻辑思维能力，为解决很多实际问题提供了思想和工具.

本节课具有承上启下的地位，它既是分步计数原理的应用，又为学习组合和组合数公式奠定了基础，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系.

二、学情分析

学生刚学过两个基本计数原理，遇到计数问题往往能够往分类或分步的方向进行思考.学生对生活中比如排队、接力赛、活动参与等计数问题有了一定的经验，有运用化归思想、特殊到一般的思想解题的意识，但抽象概括能力不强，对于排列概念的得出需要在独立思考和讨论协助的基础上，再由老师引导解决.

三、教学目标

理解排列的意义，掌握排列数的计算公式，并能运用公式解决简单的排列问题，经历排列数公式的推导过程，感受特殊到一般的思维方式在数学中的应用，提升抽象概括能力，逻辑思维能力，体会知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣.

四、教学重点、难点

教学重点：排列、排列数的定义，排列数公式的推导.

教学难点：排列数在实际问题中的应用及解决实际问题时的思路分析.

五、教学策略选择

为更好地突出重点，培养学生抽象概括的能力，本课采用以问题为背景，引导启发，通过创设情境，设置问题串，通过大量的实例让学生更深刻地理解概念， 学生独立思考，相互讨论，老师引导解决的过程，让学生体会知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探究、交流、反思进一步培养学生解决实际问题的能力.

六、教学过程

1.问题情境，引出课题

问题1 现有高一学生4名，高二学生5名，高三学生3名，从中任选1人参加学生代表大会，有多少种不同的选法？若从每个年级的学生中各选1人参加学生代表大会，有多少种不同的选法？上述计数方法有什么区别？

问题2 现请同学们来解决如下两个问题：

(1)若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，有多少种不同的选派方案？

(2)从3名学生中选出2名分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？

问题3 上面两个问题的共同点是什么？

设计意图：问题1复习分类和分步两个基本计数原理，为新知识学习奠定基础.通过问题2、3讨论上述两个问题的共同点，给出排列的一个模糊概念：像这样的问题中研究的模型就是排列，并引出课题.

2.概念辨析，强化理解

问题4 以下问题是排列问题吗？

(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选取2个人参加团代会的选取方案有多少种？

(2)在四张卡片上分别印有o,o,k,k，现选择2张卡片按左右摆放在一起，可以组成哪些不同的结果？

(3)从6人中选4人参加4×100m接力赛，有哪些选派方案？

(4)在平面直角坐标系中，由互不相等的四个数a,b,c,d组成的点的坐标有哪些？

设计意图：通过具体实例进一步体会怎样的模型是排列，加深对排列的理解，正面强化排列问题中的两个关键点“不同元素”和“按照一定顺序”，为后面归纳得出排列的概念做好准备.

3.抽象概括，概念生成

问题5 上面的(3)(4)可提炼为如下两句话：

(3′)从6个不同元素中取出4个元素，按照一定顺序排成一列；

(4′)从4个不同元素中取出2个元素，按照一定顺序排成一列.

请问同学们能否将它们推广到一般情形？

学生讨论、归纳、总结、完善，得出排列的定义.

例1写出从a,b,c,d这4个字母中，取出2个字母的所有排列.

学生利用列举法或树形图写出所有排列，并数出了所有排列的个数.

问题6 像“ab,ac,…”这些我们称什么？“12”又是什么？

变1：从a,b,c,d这4个字母中，取出3个字母的所有排列有多少种？

学生分组讨论作答，有用列举法，有画树形图，有用分步计数原理求解，最后都能得到答案24.

变2：从a,b,c,d这4个字母中，取出4个字母的所有排列有多少种？

教师适当引导，一方面用排列数的定义表示，另一方面用分步计数原理得到结果，异曲同工，体现了数学中的“算两次”思想，为后面的学习铺垫.

4.揭示规律，导出公式

学生分组探究，归纳总结：完成这件事情，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位、…，第m位，然后按照分步计数原理可得到排列数公式.

5.强化公式，跟进新公式

问题10 同学们做出答案后，有何数学发现？

七、教学反思

1.预设有效问题，发展学生思维

“思”源于“问题”，通过问题解决能使学生获得知识、方法、能力及思想上的全面发展，所以课堂不能是任务驱动，而应是问题驱动，让学生不仅关注怎么做，更要关注为什么要这样做、怎样才能想到这样做，这有助于学生的思维发展.本节课用10个问题把课题引入，概念生成，公式导出等所有环节串在了一起，既完整又自然，一改以往的灌输式教学.学生在这样的问题课堂中，探究问题，讨论问题，引发新问题，思维高度集中，学习的目标和方向进一步明确，从而激发学生学习的兴趣；从教师角度看，设置有效问题的课堂能让教师更好地把握知识本质，促进教师的专业发展.

2.关注互动交流，引发数学思考

建构主义学习观认为，学习数学的过程实际上是个再创造的过程.学生带着原本的知识和经验走进课堂，经历了自己的独立思考，教师的引导，师生的互动交流活动，进而对知识有了更深入的理解.本节课以学生为主体，给学生充分的时间去思考讨论研究，调动学生全员参与，激发了学生学习的积极性.例如在生成排列概念时，通过问题4的几个具体实例，让学生自己归纳总结，刚开始，往往在“不同元素”，“按照一定顺序”等关键细节方面忽视了，经过后面几位学生的不断补充、完善，排列的概念自然而然就提炼出来了.又如，在揭示排列数公式时，并没有直接将公式抛出，而是让学生小组讨论，自己去探究发现公式并尝试证明.课堂上，要让学生亲历数学过程，主动建构新知，让学生相互交流，沟通，给学生自己动脑思考的空间，让所有的学生获得自我表现的机会.

3.培养核心素养，提高学生能力

培养数学抽象的素养有助于学生形成理性思维.本节课通过具体实例的对比，从事物的相异中抽象出一般规律，引导学生归纳、完善排列的概念，在实际生活的情境中帮助学生更好地理解知识，这个探索的过程有利于学生养成一般性思考问题的习惯.

排列数公式的推导证明，培养了学生直观想象，数学运算的核心素养.

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程.在引出排列的模糊概念时，用的问题2的模型：像这样的的问题中研究的模型就是排列.自然的激发学生去思考如何完善模型.数学建模的过程是不断反思的过程，能让学生运用已学知识分析解决实际问题，从而培养学生解决实际问题的能力.对于教师而言，根据学生不同的建模方法，更好的优化教学设计，促使教师对教学的不断思考.