基于熵权可拓学的数控机床综合评价与应用研究*

李 波，汪永超，李 强，吴爱强

(四川大学 制造科学与工程学院，成都 610065)

0 引言

在现代化的机械加工中，数控机床一直是装备制造业的核心，是一种价格昂贵的机电一体化精密设备，同时机床设备作为基本的机械加工工具，对零件的加工质量、生产成本、生产周期、以及资源消耗、环境、设备利用率、工人工作强度等的影响很大[1]。在现有的机床设备资源基础上，对机床设备绿色性进行评价，提高其加工过程的绿色性，是传统制造向绿色制造转变的一种有效途径。因此，对机床的绿色性进行评价研究是很有实际价值的。

一台数控机床一般含有多个指标，并且各指标之间又相互矛盾、相互制约，侧重于不同的目标[2]。因此，数控机床设备绿色性评价是一个多目标的评价和决策问题。解决这一类问题的关键就在于建立综合评价体系以及运用合理的算法对评价指标进行赋值。目前，应用较多的方法有层次分析法、模糊综合评价、熵权法[3]、理想点法[4]、灰色系统理论等，并且这些方法已经在诸多领域取得了很好的应用效果，如李磊等人用层次分析法得到各指标权重，结合理想点法对待选方案进行评价，得到满足加工需要的最佳机床设备[5]；段友丽等利用改进层次分析法确定了指标隶属度，并将加权平均作为模糊综合评判运算模型进行镁合金材料的选择[6]，但是这种方法过于单一，没有考虑主客观综合影响，并且对工程的应用较少。

因此，本文在前人的理论基础上[7-8]对数控机床设备绿色性评价进行了深入的研究，通过建立指标评价体系以及数学模型，采用可拓层次分析法和熵权法组合赋权计算评价指标的主客观综合权重，再利用理想点法求得评价对象的贴近度大小并评价备选方案的优劣，为机床设备的绿色性评价提供了参考。最后采用上述方法通过工厂实际的加工案例分析证明了该方法的合理性和实用性。

1 建立机床设备评价的决策模型

1.1 建立机床设备评价的指标体系

传统制造业数控加工主要是获取经济效益的单一目标模式，而数控机床设备绿色性评价决策，除了考虑加工时间、加工质量和生产成本因素外，还需要考虑资源消耗和环境影响等因素。因此，机床的绿色性评价是一个多目标的复杂决策问题。

在现有的机床设备基础上，并结合工厂数控机床的实际加工情况，本文从加工时间指标T、加工质量指标Q、生产成本指标C、资源消耗指标R以及环境影响指标E五个方面对机床设备进行综合评价，其评价体系如图1所示。

图1 机床设备绿色性评价体系

1.2 模型描述

如前所述，在数控机床的实际加工中，由于受到加工设备条件和生产计划等实际条件的限制，机床设备绿色性评价需要综合考虑加工时间、加工质量、生产成本、资源消耗、环境影响等五个方面的影响，但各方面之间又相互矛盾、相互制约，如加工更高质量的产品，就需要更多的加工时间，更多的资源消耗，更大的生产成本以及产生更大的环境影响。这就需要建立系统的多目标规划模型，运用数学思维解决多目标决策问题，本文对机床设备决策问题的变量描述和模型建立如下：

机床设备优化问题是从若干可能方案中选出优或相对较优的方案，这里我们可以用一个维向量来描述机床选择决策问题，即：

X=[x1，x2，…，xn]

(1)

求在满足约束条件：

使得

P(X)=Optimum[T(X),Q(X),C(X),R(X),E(X)]=
[T(x*),Q(x*),C(x*),R(x*),E(x*)]

其中，n为可能方案数；x*为最优机床设备方案；xi为第i个方案，采用第i个方案时xi=1，否则xi=0。

2 模型求解

数控机床设备的评价体系满足多层次，同时具有定量和定性因素并存的特点，因此本文采用可拓层次分析法和熵权法分别计算出主客观权重，再结合理想点法评价备选机床的优劣，从而对模型进行求解，下面介绍模型求解的具体算法。

2.1 可拓层次分析法

层次分析法主要是用来确定各指标因素的权重，但传统AHP方法在构造判断矩阵时未考虑人们判断的模糊性且需要通过一致性检验[9]。而可拓层次分析法的优点主要表现在以区间数代替点值数构造判断矩阵，使判断矩阵富有弹性，不仅考虑了人们在判断时的模糊性问题，而且将求解权重矢量与检验矩阵一致性二者进行结合，保证专家判断结果的准确性。

2.1.1 构造可拓判断矩阵

可拓层次分析法的关键在于构造判断矩阵，所建立的判断矩阵是否科学、合理，将直接影响到可拓层次分析法的效果[10]。在可拓层次分析法中，通过专家系统对各因素的相对重要程度进行两两比较构成一个判断矩阵，比如比较指标层A1，A2，…，An相对于目标层U的重要性，可构建一个A=(aij)n×n可拓区间判断矩阵，如表1所示。

表1 可拓区间判断矩阵

表2 1～9九标度法及其含义

2.1.2 计算单一准则下权重矢量

(2)计算m、k的值，公式如下：

(2)

式中，m、k为满足0

(3)求权重矢量

S=(S1，S1，…，Snk)=(kx-，mx+)

(3)

式中，Snk为第k层第n个元素对上一层某个元素的区间权重。

2.1.3 层次单排序

层次单排序目的是通过计算相对重要度对本层次的各要素相对于上一层的某要素进行重要度排序。

(4)

如果∀i,j=1,2,…,n;V(Si≥Sj)≥0(i≠j)则：

(5)

式中，Pih表示第i个元素对上一层第h元素的单排序，经以下公式归一化处理:

(6)

经过归一化处理，得到某一层上各元素对上一层的第h元素的单排序权重矢量，其值为：Ph=(P1h，P2h，…，Pnh)。

2.1.4 层次总排序

2.2 熵权法

熵权法指根据指标的不确定程度计算各指标的熵权，指标的变动程度决定信息熵，从而表明该指标所包含的信息量，以此确定指标权重，避免主观因素的干扰[11]。具体计算方法如下。

2.2.1 构建决策矩阵

对于m个评价指标和n个机床设备方案的问题，可以构建一个V=(vij)m×n的原始数据矩阵。

2.2.2 对正向、负向指标无量纲化处理

上述原始数据矩阵V的指标可以分为正向和负向指标两类，因此初始决策矩阵需要进行标准化处理，其处理公式如下。

正向指标：

负向指标：

归一化后得到第j个方案在指标i上的标准化矩阵R=(rij)m×n。

2.2.3 熵权的计算

对于标准矩阵R,计算第j个指标下i个对象的指标值权重dij：

(7)

在机床设备选择过程中，第i个指标熵值计算公式为：

(8)

规定：当rij=0时，rijlnrij=0。

进而得到第i个指标的熵权：

(9)

2.2.4 组合赋权法确定权重

组合赋权法利用加法组合法或乘法组合法将二者进行综合集成，使最终得到的指标权重同时反映主观经验与客观信息，从而得出更加准确的综合指标权重值。

本文选取乘法组合赋权法，由可拓层次分析法得到的主观权重wi和熵权法得到的客观权重φi，可以求得综合主客观的最终权重μi，公式如下：

(10)

2.3 理想点法

理想点法的基本思想是在若干的待挑选方案中，构造出一个最好的选择方案，即理想对应的指标称为理想点。然后在理想方案的基础上，求解出选择方案与理想方案之间的远近距离，即和理想点的距离。最后通过比较和理想点的距离判断待选方案的优劣程度。

2.3.1 构造加权规范化矩阵

根据可拓层次分析法和熵权法得到的组合权重λi以及2.2节得到的规范化矩阵R=(rij)m×n，令dij=λi·rij，可得加权规范化矩阵D=(dij)m×n。

如前说述，使用熵权法构造初始决策矩阵时，评价指标分为正负二类指标，所以理想点也分正负指标二类，即正理想点是各项指标都能达到最佳值，而负理想点是指指标值远远达不到满足要求的值。

(11)

(12)

2.3.4 计算欧氏距离贴近度Cj

欧氏距离贴近度：

(13)

Cj越大，说明其与最理想的目标越接近，Cj达到最大值时，表示最佳的机床设备选择方案。

3 实例分析

某厂采用数控机床加工一批凸轮轴，根据凸轮轴加工的基本需求和该工厂的实际加工条件，可以从机床设备中初选三种数控机床，型号分别为M120CNC、B2-K1016、H090B。为了改善产品质量，减少环境污染、生产成本以及资源消耗，从机床绿色制造入手，建立机床设备绿色性评价方案集P=(p1，p2，p3)。

3.1 可拓层次分析法确定客观权重

根据数控机床绿色性评价体系，综合该厂的专家意见，通过对评价指标体系加工时间、加工质量、生产成本、资源消耗以及环境影响进行两两比较建立具有弹性的可拓判断矩阵，如表3所示。

表3 可拓判断矩阵

本文利用MATLAB软件eig()函数快速求出可拓判断矩阵的所对应的最大特征值所对应的特征向量x-,x+。

x-=[0.1058，0.554，0.2607，0.554，0.554]T

x+=[0.1078，0.5433，0.3207，0.5433，0.5433]T

由公式(2)计算得：k=0.954,m=1.045，01 。构造的判断矩阵满足一致性要求。

由式(3)～式(5)计算得：

V(S2≥S1)=6.227，V(S3≥S1)=4.775，
V(S4≥S1)=6.227，V(S5≥S1)=6.227。

由式(6)归一化处理得到单排序权重向量：

运用同样的方法对个子指标构建子指标层判断矩阵，计算子指标层的权重向量，从而得到各元素对总目标的权重向量为：

P=(0.020，0.023，0.158，0.096，0.061,0.078，

0.056，0.132，0.086，0.044，0.061，0.069，0.084)

3.2 熵权法确定客观权重

根据实际情况，构建如表4所示的加工检测原始数据作为评价指标决策矩阵。

表4 3种机床加工检测原始数据

首先，根据指标评价需要，对表4中的模糊化语言表述进行数值转换，取(较小、一般、较好、很好)=(0.1，0.3，0.5，0.7)，得到数值原始矩阵。

然后，对评价指标同趋势化、归一化处理后得到标准化矩阵，再根据式(7)～式(9)计算得出各元素对总目标的权重向量：

φ=(0.018，0.025，0.167，0.088，0.068，0.068，

0.060，0.079，0.097，0.077，0.056，0.054，0.145)

3.3 确定主客观综合权重

利用可拓层次分析法得到的主观权重wi和熵权法得到的客观权重φi，通过乘法组合将二者进行综合集成，最终求得主客观的综合组合权重向量：

μ=(0.03，0.047，0.167，0.069，0.034，0.044，

0.028，0.086，0.108，0.025，0.028，0.214，0.120)

3.4 确定各方案贴近度

由2.3.1节可知，利用可拓层次分析法和熵权法得到的组合权重与规范化矩阵相乘得到加权规范化矩阵。根据得到的加权规范化矩阵由式(11)～式(13)计算出正反理想点的距离以及方案贴近度，这些过程可通过MATLAB编程实现并直接给出评价排序结果，计算结果如表5所示。

表5 各机床设备的正负理想距离及贴近度

由表5可以看出理想解的欧氏距离贴近度的大小关系为:C1>C2>C3，即机床M120CNC贴近度最高，所以在该工厂现有机床设备基础上，加工上述凸轮轴时推荐选择机床型号为M120CNC的机床加工。

4 结束语

本文综合考虑了能源消耗和资源消耗等环境问题的影响，对数控机床的绿色性评价进行了深入的研究。本文结合可拓学理论，利用可拓层次分析法考虑了决策者的主观性和模糊性，熵权法又考虑了机床设备本身的特性和客观性，最终理想点法将可拓层次分析法和熵权法得到的综合权重考虑在内，通过比较备选方案与方案最佳值的距离大小，选择贴近度最大的方案作为最佳的刀机床设备方案，解决了根据不同需求的数控机床选择问题，并通过实例验证了方法的合理性和可行性，对今后机床设备评价研究以及其他设备评价研究具有非常好的实用价值和可借鉴意义。