复形的C-Gorenstein 投射维数

何东林，李煜彦

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 陇南 742500)

引 言

Gorenstein 同调理论是相对同调代数的重要内容。1969年Auslander 和Bridger 讨论了双边Noether 环上有限生成模的G-维数［1］。1995年Enochs 和Jenda 给出任意环上Gorenstein 投射模的概念［2］。Gorenstein 投射模有许多与投射模类似的性质，很多研究者对其进行了推广［3-7］。特别地，Bennis 等［3］给出了X-Gorenstein 投射模的概念和若干性质。孟凡云等［8］对这一概念做了进一步研究。这方面有关复形和复形每个层次上模的关系的研究是一个重要课题。Enochs 和Garcia Rozas［9-10］证明在Gorenstein 环R 上，复形X 是Gorenstein 投射复形当且仅当模Xm是Gorenstein 投射模(对任意m ∈Z) 。杨刚［11］研究了一般结合环上复形的Gorenstein 投射性及Gorenstein 投射维数。

受上述相关结论的启发，本文主要介绍并研究复形的C-Gorenstein 投射维数。文中的环R 均指有单位元的结合环，模指酉模。C 表示一个关于直和封闭且包含所有投射模的左R 模类。左R 模复形…→X－1→X0→X1→X2→…记为X，用Y 表示R 模复形组成的Abel 范畴，显然该范畴有足够的投射对象和内射对象。对任意复形C 和D，用Hom(C，D) 表示C 到D 的同态群，Exti(C，D) 表示由Hom(C，D) 导出的第i 个同调群，C#表示形如C ≡…→C－1→C0→C1→C2→…的正合复形组成的类，其中Ci∈C。其余未涉及的概念和记号见文献［12 －15］。

1 定 义

定义1［8］称左R-模M 是C-Gorenstein 投射模，如果存在正合列:

其中，Pi为投射模; M = Ker(P0→P1) 且对任意H ∈C有正合列式(Ⅰ) 在函子HomR(－，H) 仍正合; 用CGP表示所有C-Gorenstein 投射模组成的类。

定义2称左R-模复形X 是C-Gorenstein 投射复形，如果存在复形正合列:

其中，Pi为投射复形，X = Ker(P0→P1) 且对任意复形C ∈C#，该正合列在Hom(－，C) 下仍正合。

定义3设X 为左R-模复形，X 的C-Gorenstein 投射维数定义如下:

inf{n| 存在正合列0 →Gn→…→G1→G0→X →0，其中Gi为C-Gorenstein 投射复形}，记为C-Gpd(X) 。如果这样的n 不存在，则规定C-Gpd(X) = ∞。

2 主要结果

定理1设X 为左R-模复形，则以下条件等价:

(1) X 是C-Gorenstein 投射复形;

(2) 每个层次上的模Xm是C-Gorenstein 投射模。

证明由定义1 和定义2 易证。

图1 复形正合列展开图

由Xm+1是C-Gorenstein 投射模，且Ii－1是C 中模M的一个上合冲，易知Ext1(Xm+1，Ii－1) = 0。因此R-模正合列可裂，从而存在g:Bm+1→Ii－1，使得gαm+1= 1。令其中βm=且βn= 0(n ≠m，m －1) ，则β 为复形同态，且βα =1，从而复形正合列X →0 可裂，且因此对任意i ≥1 有

对任意C ∈C#，由于C 关于直和封闭，所以C 是形如的复形的直和。因此对任意i ≥1 和任意复形C ∈C#，有Exti(X，C) = 0。

因为每个层次上的模Xm是C-Gorenstein 投射模，所以Xm是Gorenstein 投射模。显然Xm具有投射预包络。由文献［11］中引理2 可知复形X 具有投射预包络。不妨设γ0:X →P0是X 的投射预包络，易知γ 为单同态。考虑正合列0 →X →P0→H1→0，其中H1= Co kerγ0。由于γ0是X 的投射预包络，且对任意C ∈C#有正合列有:

因此Ext1(H1，C) = 0。因为对任意N ∈C，有所以不妨考虑第m 个层次0 →Xm→由是C-Gorenstein 投射模易得是C-Gorenstein 投射模。类似地考虑H1的投射预包络，继续上面的讨论，一直进行下去可得正合列:

其中，Pi为投射复形，且对任意复形C ∈C#正合列式(1) (在HomR(－，C) 仍正合。

考虑由投射覆盖导出的如下复形正合列:

因为对任意i ≥1 和任意复形C ∈C#，有Exti(X，C) =0，所以式(2) 在HomR(－，C) 正合。由(1) 、式(2) 拼接可得复形正合列式(Ⅱ) ，其中，Pi为投射复形，X =Ker(P0→P1) 且对任意复形C ∈C#有正合列式(ε) 在HomR(－，C) 下仍正合。因此X 是C-Gorenstein 投射复形。

定理2设X 为左R-模复形，则

证明先证若sup{ C-Gpd(Xm) | m ∈Z} = ∞，则不等式显然成立。若sup{ C-Gpd(Xm) | m ∈Z} = n 有限，则考虑复形X 的投射分解:

其中，Pi为投射复形。考虑第m 个层次:

注意到C-Gpd(Xm) ≤n。由文献［8］中命题3．14得是C-Gorenstein 投射模。又由定理1 知In是CGorenstein 投射复形。因此C-Gpd(X) ≤n，即:

命题1设X 为左R-模复形且C-Gpd(X) = 0，则存在复形正合列: 0 →H →G →X →0 和0 →X →H'→G'→0，其中G，G'为C-Gorenstein 投射复形，H，H'为投射复形。

证明因为C-Gpd(X) = 0，即X 是C-Gorenstein 投射复形，由定义1 知存在复形正合列… →P－1→P0→P1→…(ε) ，其中Pi为投射复形，X = Ker(P0→P1) 且对任意C ∈C#有序列式(Ⅱ) 在Hom(－，C) 下正合。取G = lm(P0→P1) ，显然G 为C-Gorenstein 投射复形。易知正合列0 →0 →X →X →0 和0 →X →P0→G →0 是满足要求的正合列，因此结论成立。

定理3设X 为左R-模复形且C-Gpd(X) = n(n≥1) ，则存在复形正合列: 0 →H →G →X →0 和0 →X →H'→G'→0，其中，G，G'为C-Gorenstein 投射复形，pd(H) ≤n －1 且pd(H') ≤n。

证明对n 用数学归纳法。当n = 1 时，存在正合列0 →Q1→Q0→X →0，其中Q0，Q1为C-Gorenstein 投射复形。对Q1用命题1 可得存在复形正合列0 →Q1→H0→G0→0，其中，G0为C-Gorenstein 投射复形，H0为投射复形即pd(H0) = 0。考虑每个层次上的推出图及对应的复形交换图分别如图2 和图3 所示。

图2 和的推出图

图3 与图2 对应的复形交换图

注意到在正合列0 →Q0→X0→G0→0 中Q0，G0为C-Gorenstein 投射复形，易得X0为C-Gorenstein 投射复形。可见0 →H0→X0→X →0 是满足要求的第一个正合列。对X0用命题1 知，存在复形正合列0 →X0→H1→G1→0，其中G1为C-Gorenstein 投射复形，H1为投射复形。考虑每个层次上的推出图及对应的复形交换图分别如图4 和图5 所示。

图4 和的推出图

图5 与图4 对应的复形交换图

由H0，H1是投射复形得pd(F1) ≤1，从而序列0 →X →F1→G1→0 是满足要求的第二个复形正合列。

假设结论对n －1 成立，下证结论对n 也成立。设X为左R-模复形且C-Gpd(X) = n。

则存在复形正合列0 →Qn→Qn－1→…→Q1→Q0→X →0，其中Qi为C-Gorenstein 投射复形。令K0= Ker(Q0→X) ，则有两个正合列: 0 →Qn→Qn－1…→Q1→K0→0 和0 →K0→Q0→X →0。可见C-Gpd(K0) = n －1。

由假设知存在正合列0 →K0→Hn－1→Gn－1→0，其中Gn－1为C-Gorenstein 投射复形，pd(Hn－1) ≤n －1。考虑每个层次上的推出图及对应的复形交换图分别如图6和图7 所示。

图6 和的推出图

图7 与图6 对应的复形交换图

在正合列0 →Q0→Xn－1→Gn－1→0 中，Q0和Xn－1为C-Gorenstein 投射复形，易知Xn－1为C-Gorenstein 投射复形。对Xn－1用命题1 可知存在复形正合列0 →Xn－1→Q →Xn→0，其中Xn为C-Gorenstein 投射复形，Q 为投射复形。考虑每个层次上的推出图及对应的复形交换图分别如图8 和图9 所示。

图8 和的推出图

图9 与图8 对应的复形交换图

在正合列0 →Hn－1→Q →Hn→0 中，Q 为投射复形且pd(Hn－1) ≤n －1。可见pd(Hn) ≤n。令G = Xn－1，H = Hn－1，G' = Xn，H' = Hn，则复形正合列0 →Hn－1→Xn－1→X →0 和0 →X →Hn→Xn→0，即为满足条件的正合列。命题得证。

定理4设X 为左R-模复形，C-Gpd(X) 有限且n为正整数，则以下条件等价:

(1) C-Gpd(X) ≤n;

(2) 对任意投射复形Q，任意i ＞n，有Exti(X，Q)= 0 ;

(3) 对任意投射维数有限的复形Q，任意i ＞n，有Exti(X，Q) = 0 ;

(4) 对任意复形正合列0 →Kn→Xn－1→…→X1→X0→X →0，其中Xi为C-Gorenstein 投射复形，都有Kn是C-Gorenstein 投射复形。

证明显然成立。

考虑第m 个层次可得Exti(Xm，P) = 0。由文献［8］中命题3.14 得Gpd(Xm) ≤n，且为C-Gorenstein 投射模。根据定理1，Kn是C-Gorenstein 投射复形。

推论1设X 为左R-模复形，则C-Gpd(X) =存在投射复形Q 使得Exti(X，Q) ≠0} =存在投射维数有限的复形Q 使得Exti(X，Q) ≠0}。

命题2设X 为复形，C-Gpd(X) 有限，则X 有一个特别的C-Gorenstein 投射预覆盖。

证明因为C-Gpd(X) 有限，由定理4 可知存在复形正合列0 →H →G →X →0，其中G 为C-Gorenstein 投射复形，pd(H) ≤C-Gpd(X) 有限。又因为对任意C-Gorenstein 投射复形C 有从而Hom(C，G) →Hom(C，X) 为满态射，因此G →X 是一个特别的C-Gorenstein 投射预覆盖。

3 结束语

利用环模理论和同调代数的方法，研究了复形的C-Gorenstein投射维数的若干性质和等价刻画。结果表明，复形X 的C-Gorenstein 投射性与其每个层次上的模Xm的C-Gorenstein 投射性密切相关。研究结果补充了Gorenstein 同调代数的基础理论。