N 种群Gilpin-Ayala 脉冲竞争模型正周期解存在性和全局吸引性

路 杰

(宿州职业技术学院基础教学部，安徽 宿州 234101)

引 言

考虑以下具脉冲的N 种群Gilpin-Ayala 竞争模型［1-4］:

其中，xi(t) 表示种群Xi在t 时刻的密度; ri(t) 表示种群Xi在t 时刻的内禀增长率［5］; aij(t) ，bij(t) (i ≠j) 表示种群xi和xj间的竞争，Tij(t) 表示时滞，并且T =表示对种群内相互影响的非线性衡量，aij(i ≠j) 表示对种群间相互影响的非线性衡量，aij是正常数; ri(t) ，aij(t) ，bij(t) ，cij(t) ，τij(t) ，i，j = 1，2，…，N(都是R 上的T-周期连续函数; aij(t) ，bij(t) ，cij(t) ，τij(t) ，i，j = 1，2，…，N 都非负; aij都是正常数;食饵的内禀增长率ri(t) 可能为负，但满足的条件是都是正的。R，tk＜tk+1，k ∈Z 均为常数，并且存在正整数q ＞0，使得此外，假设通过人工的作用，种群密度的增长率可能为正，故0。记xi，t0: ［－ τ，t0］→R 为连续函数，再记X(t) =(x1(t;t0，x1，t0) ，…，xN(t;t0，xN，t0) ) 是系统式(1) 需满足以下初始条件

的解，可见系统式(1) 满足初始条件式(2) 的解X(t) =X(t;t0，xt0) 是分段连续函数，在不连续点tk，k ∈z 是左连续的，即:

定义1如果存在正常数hi和Hi，使得系统式(1)的每个正解x = (x1(t) ，x2(t) ，…，xN(t) ) 满足:

则系统式(1) 是持久的［6］。

特别地说明:下文中将出现的H1、H2、H3和H4是指Hi中当i 分别为1、2、3、4 时的正常数。

1 主要引理

给定函数α(t) ，β(t) ∈PC'ω，β(t) ＞0，考虑以下脉冲系统:

其中，θ1是正常数，hk+q= hk(k ∈Z+) 是常数，并且满足1 + hk＞0(k ∈Z+) 。

引理1［7］设L 是一个指标为零的Fredholm 映射，N 在上是L-紧的，并满足下列条件:

(1) 对任意的λ ∈(0，1) ，方程Lx= λΝx的解满足

引理2［8］若是相对紧的充分必要条件是:

(Ⅰ) 有界，即对任意的x ∈F，存在M ＞0，使得:

(Ⅱ) F 在J 上是拟-等度连续的。

引理3［9］若φ ∈PC'ω，则:

引理4(脉冲型barbǎlat 引理)［10］非负函数f ∈且若对任意的ε ＞0 和n ∈N，存在δ ＞0，当s1，s2∈(tn－1，tn］，时，有则

引理5［11］系统式(1) 有唯一的正周解［12］的充分必要条件是

引理6［11］设a(t) ，b(t) ∈PC'ω，b(t) ＞0 并且若使得:

类似有:

由引理5 和引理6 知θ［a，b］是以下系统:

唯一的正周期解。

下面讨论系统式(1) 、系统式(2) 的持久性。

引理7若系统式(1) 、系统式(2) 满足以下条件(H1) :

则系统式(1) 、系统式(2) 具有持久性(仅验证引理7) 。

证明由系统式(1) 、系统式(2) 得

因此有:

其中:

当t 充分大，再由引理6 及引理7 的条件(H1) 得:

则有:

则引理7 得证。

2 主要定理

定理1若以下条件满足:

其中:

则系统式(1) 与式(2) 至少有正的ω-周期解。

证明令xi(t) = exp(yi(t) ) ，i = 1，2．．．，N，则系统系统式(1) -式(2) 变为:

令:

其模为:

其中:

其中:

及:

定义2 个投影算子为p:X →X:

及Q:Y →Y 为:

和:

为Y 中2 个闭集，并且有dim KerL = co dim lmL = N，故L 是一个指标为0 的Fredholm 算子。进一步可得L 的广义逆有如下形式:

则有:

和:

则易得:

由Lebesqe 控制收敛定理，可得算子QN 和Kp(1 －Q) 都连续。

下面，寻找引理1 所要求的合适的有界开子集。

考虑算子方程:

有:

其中:

假定对:

是系统式(12) 的一个周期解，在［0，ω］上积分式(12) 得:

则:

由式(12) 和式(14) ，得

注意到y = (y1(t) ，…，yN(t) )T∈X，则存在ξi，ηi∈［0，ω］，i = 1，2，…，N，使得:

由式(14) 和式(16) 得:

这说明:

由式(12) 和式(17) 及引理3 得:

特别地，有:

另一方面，由式(12) 、式(14) 和式(18) 得:

其中:

故:

其中:

由假设条件(H1) ，得:

由式(12) 及引理3，得:

由式(19) 和式(22) ，得:

易见H 与λ 无关。

取H = max{H1，H2，…，HN} +c，其中c 是一充分大的正常数，使得下述系统:

则:

经计算得:

其中，由lmQ = KerL 得J 是恒等映射，这样Ω 满足引理1的所有假设条件。由引理1 知系统式(2) 至少有一个ω周期解满足条件

下面，介绍系统式(1) -式(2) 的正ω-周期解全局吸引性。

很明显，系统式(1) -式(2) 和系统式(24) 等价。下面只讨论系统式(24) 的ω-周期解全局吸引性。

定理2若条件(H1) 和(H2) 及以下条件都满足:

(H3) aii≥max{αij}，i，j = 1，2，…，N;

(H4) 存在正常数。

θi，i = 1，2，…，N，d(0 ＜ d ＜ σ) 及ζ 使得其中其中有:

则系统式(1) -式(2) 有唯一全局吸引的周期解x(t) 。

证明取系统式(24) 的一个周期解(u(t) ，u1(t) ，…，uN(t) ) ，即任意一个解(v(t) ，v1(t) ，…，vN(t) ) 由引理3 和定理1 及0 ＜d ＜σ 知存在T0＞0，使得:

考虑Lyapunov 泛函:

经计算W(t) 沿系统式(25) 的右上导数D+W(t) 得:

故当t ≥T0，t ≠tk，由系统式(26) 和系统式(27) 得:

另一方面当t = tk，有:

由式(28) 和式(29) 得:

D+W(t) ≤0，t ∈R，t ∈R，t ≠tk，ΔW(tk) ≤0在［T0，t］上积分式(28) 得:

故有:

则由引理4 得:

这说明系统式(24) 的全局吸引性。再由式(24) 和系统式(1) -式(2) 的等价性，说明系统式(1) -式(2) 的周期解是全局吸引的。进一步地，存在正数M = min{Mi}使得:

从而有:

类似以上讨论可得到系统式(1) 与式(2) 的周期解全局渐近稳定［13-17］且唯一。

3 例题验证

考虑系统:

这可验证定理1 和定理2 的条件均满足，故系统式(35)的周期解有持久性和全局吸引性［16］。

4 结束语

研究了一类具脉冲的N-种群Gilpin-Ayala 竞争模型解的存在性和全局吸引性证明，给出一个实例说明主要结论的可行性，为一类具脉冲的N-种群Gilpin-Ayala竞争模型研究和实际生产中捕食-食饵模型运用提供了理论依据，在国民生产中具有重要的现实意义。