广义拓扑空间中滤子的一些结果

郭 俊，朱培勇

(电子科技大学数学科学学院，四川 成都 611731)

引 言

2002年，匈牙利数学家Csaszar A［1］提出广义拓扑空间，并对其作了较深入的研究，初步取得了一些成果。在此基础上，Csaszar A 及其他学者对一般拓扑进行了类比，在广义拓扑空间的点集理论、映射性质方面取得了一系列成果［2-7］。2014年，王鑫等人［8］得到了广义拓扑与强广义拓扑之间的一些联系，并在强广义拓扑定义的基础上，得到了一般拓扑中所具有的一些遗传性质。2015年，李阳［9］探究了广义拓扑空间中五类广义开集之间的关系。2016年，李阳等人［10］进一步探究了广义拓扑空间中的开集与连续性。2017年，Sun W H 等人［11］引入了广义拓扑空间中的单调正态性，给出了μ-单调正规空间的刻画和几个保守定理，而且建立了μ-单调正规空间的Urysohn 引理的“单调变体”。

基于上述成果，提出以下问题: 是否可以类比一般拓扑，在广义拓扑空间中引入滤子概念，并且得到关于滤子的一些性质和理论结果?

本文主要就上述问题，在文献［1］的基础上对广义拓扑空间中的滤子进行研究，并得到广义拓扑空间滤子的一些结果;并且，将广义拓扑空间滤子与映射相结合，获得滤子和映射的一系列结果。

1 预备知识

首先，回忆广义拓扑空间的概念:

定义1［1］X 是任一非空集合，T 是X 的一些子集构成的集族，则称T 为集合X 上的一个广义拓扑，如果下列两个条件被满足:

(A1) 若{Gλ}λ∈Λ∈T 。

这时称有序偶(X，T ) 为一个广义拓扑空间，集族T 中的每一个元都称为该广义拓扑空间的广义开集。下面是与广义拓扑相关的一些概念［12］:

此外，所有没有定义的关于拓扑空间的概念、术语和记号，如果没有特殊声明都选自文献［13］。在不引起混淆的情况下，也将广义开集、广义闭集等称为开集、闭集等。

下面是滤子的定义及其相关概念的一些介绍。

定义2［14］设F 是集合X 的非空子集族，称F 是滤子，如果满足下列三个条件:

(B2) 若A，B ∈F ，则A ∩B ∈F ;

此外，如果X 的子集族G 只满足(B1) 与(B2) 两条，则称G 是一个滤子基;设F 是X 中的滤子，如果不存在真包含F 的滤子，则称F 为极大滤子。

定义3［14］设F 是广义拓扑空间X 中的滤子，x ∈X。

定义4设F 与P 是广义拓扑空间X 中的两个滤子，f: F →P 是一个映射。A ∈F ，称映射f 关于A 连续，如果使得f(G)如果关于F 的每个集合都连续，则称映射f 关于F连续。

定义5设F 与P 是广义拓扑空间X 中的两个滤子，f: F →P 是一个映射。

(D2) 若B 是F 中的集合，且B 是闭集，有f(B) 是P 中的集合，且f(B) 也是闭集，则称f 是闭映射。

下面就关于滤子在广义拓扑空间中的研究得出的一些结论。

2 广义拓扑空间中关于滤子的几个性质

根据滤子聚点的定义，可以得到如下三条等价结论。

定理1X 为广义拓扑空间，x ∈X，F 是X 中的一个滤子，则下列三条结论等价:

(E1) x ∈ad*F ;

证明

接下来研究极大滤子的广义聚点集与广义极限点集的一致性。

定理2设F 是广义拓扑空间X 中的滤子，若F 是极大滤子，则lim*F = ad*F 。

证明及由F →*x得，使于是由滤子的定义，得因为而U，F ∈F ，所以由定理1 知x ∈ad*F 。即证得

推论1设F 与P 是广义拓扑空间X 中的滤子，则:

证明

(F1) :由滤子广义极限定义可知这是显然成立的。

定理3设X 为广义的Hausdorff 空间，则X 中每个滤子的广义极限点唯一;反之结论不真。

反之推不出来。举例: 设X = {a，b，c}，取子集族显然有(X，T ) 是一个广义拓扑空间，取广义拓扑空间X 中的滤子F ={{a}，{a，b}，{a，b，c}}。假如X 不是广义Hausdorff 空间，则使UT(y) ，都有b}，{a，b，c}，}UT(y) = UT(b) = {{b}，{a，b}，{b，c}，{a，b，c}}，由于U，V 的任意性，不妨取U = {a，b}，V = {b}，则U所以反之不成立。

3 广义拓扑空间中滤子与映射连续的关系

引理1设F 为广义拓扑空间X 中的滤子，A ∈F是开集，当且仅当BA 时，A 是B 的广义邻域。

引理2设A 是广义拓扑空间X 的子集，则:

下面讨论连续映射的等价刻画。

定理4设F 与P 是广义拓扑空间X 中的两个滤子，f: F →P 是一个映射，则下列条件等价:

(J1) f 关于F 是连续的;

(J2) 对P 中任意闭集A，f－1(A) 是F 中闭集;

证明

下面讨论开映射的等价刻画。

定理5设F 与P 是广义拓扑空间X 中的两个滤子，f: F →P 是一个映射，则下列条件等价:

(K1) f 是开映射;

证明

4 广义拓扑空间中滤子的推广

首先介绍滤子在网领域上的一些应用。

在拓扑空间中，网与滤子有着密切联系，即给定一个滤子就有相伴的网，反过来给定一个网也有相伴的滤子，类比引入广义拓扑空间中的滤子与网的关系。

设F 是广义拓扑空间X 中的滤子，令

规定D(F ) 的序关系:

由滤子和网的相伴性可以得出滤子广义聚点、广义极限点和网聚点、极限点的关系，而且网在黎曼积分中也有应用，具体可参见文献［15］。

从广义拓扑空间的定义不难看出，广义拓扑的条件仅仅取了拓扑条件的一半。因此，广义拓扑实际上是一类半拓扑，有时也称其为上半拓扑(Sup-Semi-Topology) 。例如文献［16］称广义拓扑相对于拓扑的另一半条件的集族为下半拓扑(Inf-Semi-Topology) ，具体如下:

定义6［16］X 是任一非空集合，T 是X 的一些子集构成的子集族，称T 为集合X 上的一个下半拓扑，如果下列两个条件被满足:

(L1) X ∈T ;

(L2) 若G1，G2∈T ，则G1∩G2∈T 。

这时称有序偶(X，T ) 为一个下半拓扑空间，集族T 中的每一个元称为下半拓扑空间(X，T ) 的下半开集。

用完全类似的方法，可以证明本文的所有结果(除定理3 外) 在下半拓扑空间也成立。而且每个下半拓扑的全部非空元都构成一个滤子，但是每个广义拓扑的全部非空元就不一定构成滤子，例如:

设(X，T ) 为广义拓扑空间，其中非空集合X ={a，b，c}，T = {，{a，b}，{b，c}{a，b，c}}，则可F ={{a，b}，{b，c}，{a，b，c}} 不是广义拓扑空间X 上的滤子。因为不满足滤子定义2 的第二个条件(B2) 。

5 结束语

本文以一般拓扑为基础，借鉴近年来研究半拓扑的思想与方法，类比一般拓扑空间中滤子的研究，把拓扑空间中的滤子引入到广义拓扑空间中进行讨论。经过本文的讨论和证明可以看出，滤子在广义拓扑空间中也有广义聚点、广义极限点、映射连续等的一些结论成立。而且还将滤子的研究进一步推广到下半拓扑空间中，也获得了类似结论。从而可以知道拓扑空间中的滤子性质其实就是一类半拓扑性质。