一类四阶与六阶微分算子积的自伴性

林秋红

(广东理工学院基础部，广东 肇庆 526100)

引 言

近两年，关于微分算子自伴性问题的相关研究得到很多关注。文献［1］给出了4 阶正则微分算子耦合自共轭边界条件的基本标准型，为给出一般高阶微分算子自共轭边界条件标准型提供了新思路; 文献［2］研究了J-对称微分算式在两端奇异且亏指数不相等时J-自伴扩张的边条件问题;文献［3］讨论了二维向量空间中二阶微分算子在两区间上的自伴扩张问题。

此外，关于微分算子乘积或幂的自伴性研究也一直受到许多学者的关注，特别是对同阶微分算子乘积的自伴性研究，已有较多的研究成果。1996年，边学军［4］研究了二阶自伴微分算子ly = －y″ +q(x) y 所生成的幂算子的自伴性;1999年，曹之江、孙炯等［5］研究了正则和奇异两种情况下二阶微分算子的积算子自伴性，得到了积算子为自伴算子时其边条件应满足的充分条件; 2006年，张新艳等［6］讨论了正则和奇异的2n 阶微分算子的积算子自伴性，得到了积算子自伴的充要条件。2010年，杨传富等［7-8］研究了两个四阶微分算子的积的自伴性，并得到了两个四阶微分算子积的自伴的充要条件，并进一步给出了m 个微分算子乘积自伴的条件; 张新艳、王万义等［9-10］利用自伴算子的基本理论及矩阵运算，讨论了三个二阶微分算子积的自伴性，并进一步讨论了三个高阶微分算子积的自伴性;2014年，郑召文、刘宝圣［11］给出了在极限圆型时判定三个Hamilton 算子乘积自伴的一个充要条件。但上述这些研究都只是针对同阶微分算子的积算子自伴性的研究。

2016年，文献［12］利用矩阵运算，讨论了一类二阶与一类四阶生成的两个微分算子积的自伴性问题，并在常型情形下，得到积算子自伴的充分条件。自此，对于两个不同偶数阶的微分算子积自伴性便没有得到更多的研究。

本文将利用新的方法继续研究一类四阶和一类六阶的微分算子积的自伴性问题，并得到了积算子L =L1L2为自伴算子的一个充要条件，有趣的是这个充要条件和同阶的微分算子积算子自伴的充要条件有着相似的结构，这为进一步研究一般的两个不同偶数阶微分算子自伴性提供了研究思路。

1 预备知识

设:

为区间I 上具有适当可微复值函数系数ak(t) 的N阶微分算式，若aN(t) 不等于零，则称l(y) 正则。以l*(y) 表示l(y) 的共轭算式，即若l(y) ≡l*(y) ，则称l(y) 为对称微分算式。

设［·，·］N表示l(y) 的Lagrange 双线性型，有格林公式为:

本文记n 行m 列矩阵A = (aij)n×m，(i =1，2，…，n;j = 1，2，…，m) 。特别是n = m 时，简记A = (aij)1≤i，j≤n。AT及A*分别表示A 的转置及共轭转置，AO表示A 的全转置; 0，0n，In，R 分别表示零向量，n × n 零矩阵，n × n单位矩阵及实数集合; (M ⊕N) 为m × (m + n) 矩阵，其前n 列由M 组成，后n 列由N 组成;表示复数a 的共轭复数。设QN(t) 表示双线性型相应的矩阵，则:

这里:

由于实对称微分算式阶数为偶数，设:

这里实函数pk(t) ∈C2n+k(I) (k = 0，1，2，…，n) ，

记LM为由l 生成的最大算子，其定义域为:

而由l 生成的最小算子记作L0，它是算子LM限制在上所得算子的最小闭延拓，即:记其定义域为D0(l) 。

为了证明主要结果，需要下列预备知识。

引理1［13］函数y ∈D0(l) 的充要条件为:

(1) y(0) = y(1)(0) = … = y(2n－1)(0) = 0 ;

引理2［7］设A，B，C 为n × n 矩阵，B，C 可逆，则可逆，且:

引理3［14］设l(y) 是定义于区间I = ［a，b］的2n阶正则对称微分算式，由l(y) 生成的微分算子L 是自伴算子的充要条件为:存在2n × 2n 数量矩阵M，N 使得L的定义域为:

这里σy(a) ，σy(b) 定义于式(4) ，且:

(i) Rank(M ⊕N) = 2m +2n;

定义1［15］设:

将A 顺时针(或逆时针) 旋转180 度，得到矩阵称为矩阵A 的全转置矩阵，记为AO，并记:

2 微分算子积的自伴性

设:

由式(5) 和式(6) 计算得到微分算子l1(y) ，l2(y)的Lagrange 双线性型矩阵Q1和Q2为:

定义微分算子Li(i = 1，2) 如下:

这里，σy(t) = (y(t)，y(1)(t)，y(2)(t)，…，y(2n－1)(t) )T;A，B 为4 ×4 数量矩阵; C，D 为6 ×6 数量矩阵。且:

不失一般性，令:

其中aij，bij，clk，dlk∈R(i，j = 1，2，3，4;l，k = 1，2，…，6) 。

设:

其Lagrange 双线性型矩阵为Q10，则由式(6) 及引理2得:

其中:

由式(8) 直接计算可得:

其中:

按照积算子L(y) = L1L2(y) 的定义，L(y) 的定义域是:

故由式(19) 得:

其中:

定理1Rank(M ⊕N) = 10

证明由于:

则:

而det(F) = det(M2) ，det(N2) = 1 ×1 = 1 ≠0，即F 是可逆的，所以根据矩阵知识可知: Rank(PF) =Rank(P) = 10，即Rank(M ⊕N) = 10，证毕。

定理2积算子L = L1L2自伴的充要条件为:

CS(a) A*= DS(b) B*

证明由于L 是10 阶实对称微分算子，根据引理3和定理1，只须证明:即可，其中同上。事实上，由式(15) 、式(22) 及引理3 可知:

其中:

为矩阵G 的全转置矩阵。

同理可知:

用相同的方法，可以进一步研究任意2 n 阶微分算子与2 m 阶微分算子的积算子自伴性。