二次函数综合题型解题策略与技巧

李金华

(云南省曲靖市麒麟区第七中学 655000)

一、抓准临界点信息，恰当分类，巧妙切入

众所周知，分类思想是初中数学中最重要的思想方法之一，从初一开始学习有理数到初三复习函数综合题，整个教学过程中无不渗透着分类思想，或者说分类思想在初中数学解题中有着极其重要的应用.事实上，如果留心就不难发现，不管是中考压轴题还是平时的模拟题，绝大多数二次函数综合题都或深或浅地涉及到分类思想，并且往往是以恰当的分类为切入点，学生如果分类讨论的意识淡薄或是做不到合理分类也就无法顺利解题.而这其中的关键就在于仔细分析题意，抓准临界点信息，从而恰当分类，巧妙切入.下面我们来看一道比较典型的例题：

例1设函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)，试解答以下三问：①判断该函数与x轴有几个交点，并给予证明；②若该函数图象与y轴的交点为C，与x轴的交点为A、B(A在B左侧)，∠CAB与∠CBA其中之一为钝角，求m的取值范围；③设该函数图象的顶点为P，在求得m取值范围的前提下，若△PAO与△ABC的面积相等，求该二次函数的表达式.

简评通过以上的解题可以看出，此题难度不高但属于较为典型的二次函数综合题，其以二次函数的基本运用为基础综合了几何知识，第三问解答的切入点和关键点就在于依据两点的未知情况进行分类讨论.在二次函数的综合题型中，像这样涉及到到分类讨论思想的题目数不胜数，我们应多加注意.

二、理清隐含条件，数形结合，直击要害

在二次函数综合题中，函数图象的性质历来是考查的重点之一，而以之为基础也常常与方程、不等式或一些几何知识进行综合，因此数形结合能力在二次函数综合题的解答过程中就显得至关重要，尤其是在需要将一些复杂而抽象代数问题图形化时，正确的数形结合是解答题目的基础和关键.事实上，很多学生在面对二次函数综合题时的最大短板就是图形转化能力低，尤其是对题目中的一些隐含信息，无法通过数形结合标示出来进而充分利用，因此，在习题教学中教师应特别重视使学生掌握“代数图形化“策略，能够理清隐含信息，通过数形结合直击要害.我们来看一道例题：

已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与二次函数y=ax2-(a+1)x图象的一个交点为A(4，8)，试解答以下三问：①求出该直线和二次函数的解析式；②若点P为线段OA上一点，过该点做y轴的平行线交本题中二次函数图象于点Q，则线段PQ的最大长度为多少？③设本题中二次函数图象的顶点为M，点N为二次函数图象上一点，若使四边形AOMN为梯形，则点N的坐标及梯形AOMN的面积分别是多少？

解析首先要说的是本题的原题是没有给出图形的，需要学生在平面直角坐标系中画出直线和二次函数的图象，并根据题意标出重要的点，在此基础上进行分析和解答.前两问很简单,在此从略.第三问的大体解答过程如下：从第一问求出的二次函数的解析式y=x2-2x可知顶点M的坐标为(1，-1)，过点M作直线OA的平行线交二次函数图象于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形，直线MN可看作是由直线OA

向下平移b个单位得到，由此可得直线MN的方程为y=2x-b.将M点的坐标代入此方程得到b=3，故直线MN的方程为y=2x-3.将此式与二次函数的表达式y=x2-2x联立可得x1=1，x2=3.据此易知MN与二次函数的交点N的坐标(3，3).如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于G、H，四边形MNHG显然为平行四边形，据此可得到G、H两点的坐标分别为(1，2)和(3，6).由图可知，所求梯形面积等于△OMC、△ANH与梯形MNHG的面积之和.求三者面积所需的关键点的坐标都已有了，根据面积公式分别求出其面积然后相加即可得到最后答案.

简评该题综合二次函数、一次函数与一些相关几何知识，属于比较典型的二次函数综合题.其新颖点在于，以二次函数与一次函数的图象相交形成的图形框架为载体巧妙融合进几何知识，而原题并不给出图形，需要学生自主画图，并挖掘题目中的隐含信息进而善加利用.整个解题过程中所彰显出来的正是一种典型的“数形结合，直击要害”的解题策略，需要我们好好体会和借鉴.

综上所述，我们结合具体题例探讨了初中二次函数综合题型的两种基重要解题策略，即“抓准临界点信息，恰当分类，巧妙切入”“理清隐含条件，数形结合，直击要害”.事实上，初中二次函数综合题型解题策略与技巧时一个同时具有一定深度和广度的话题，除本文所述外当然还有其他一些有效的策略及技巧，这就需要我们一线教师在教学实践中多加留心和勤于总结.