Dirac-Weyl 半金属结中电磁控制的克莱因隧穿和电荷电导

邱学军,吕强

(中南民族大学 电子信息工程学院, 湖北省智能无线通信重点实验室,武汉 430074)

众所周知，石墨烯是一种二维Dirac半金属材料，因其具有极高的电子迁移率而在过去十几年里受到人们广泛的关注，并成为实现晶体管应用的杰出候选者.而Weyl半金属是一种被称之为三维类石墨烯的拓扑半金属的材料[1-3]，因其具有许多优越的性质，如无质量的低能激发、Weyl节点附近的线性色散关系、不连续的非平庸的费米弧表面态、以及手征反常等，近来成为凝聚态物理学中研究的热点.Weyl半金属的一个最显著的特征是费米弧表面态和内部态的共存[4-8], Potter等人利用半经典分析和数值计算的方法[9]说明了费米弧表面态的存在和磁输运和量子干涉效应中的量子振荡现象有关, 而内部态的存在则与量子反常霍尔效应，负磁阻效应密切相关.此外，Weyl半金属中的手性反常和电子的高迁移率等特点，使Weyl半金属成为了实现隧穿相关器件应用的潜在候选者.

近来，Bai等人利用一维电势垒调控了反转对称下的Weyl半金属中的电子隧穿并提出了波矢滤波器的模型[10]，随后，Jalil等人利用单磁势垒控制Weyl费米子角度依赖的克莱因隧穿，理论上获得了电子共振下的完美透射环[11].在此基础上，Cheng等人[12]进一步研究了Weyl半金属中双磁势垒作用下的电子隧穿，其结果表明，角度依赖的电子隧穿在双磁势垒的布局方式、门电压的高度以及费米能的调控下，可以实现动量空间波矢过滤.此外，新加坡Yesilyurt小组提出利用倾斜能量色散和电势垒耦合调控Weyl半金属中电子隧穿[13]和电荷电导[14]，并发现了完美透射角度沿着倾斜方向移动的异常隧穿现象.这些工作为构建基于Weyl半金属的纳米电子器件奠定了基础.

本文设计了一个由Dirac半金属和铁磁Weyl半金属组成的新的纳米结构, 主要研究了在Dirac- Weyl结中电势垒和磁场控制下的克莱因隧穿和电荷电导.利用Landauer-Büttiker公式计算得到了电子的透射概率和电荷电导.理论结果表明，电子的透射概率和电荷电导显著依赖于电势垒、磁场幅度及其方向.当电势垒接近费米能时，Dirac- Weyl半金属结显示了独特的波矢过滤特性，通过磁场幅度和方向进一步调控，可以获得任意角度的电子波矢，理论结果为电子滤波器的设计提供了支撑.

1 模型和理论方法

考虑Dirac-Weyl 半金属结中的电子传输，如图1所示， 在电势垒和磁场作用下，Dirac-Weyl半金属中低能电子的哈密顿量可以表述为[15]：

H0=ħvF(σ·(kF+ek0))+U,

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图1 磁场和电势垒作用下Dirac-Weyl半金属结构示意图.其中k0和φ表示磁场的强度和方向，L表示结的长度Fig.1 The schematic of the Dirac-Weyl semimetal structures under the effect of magnetic field and electric potential barrier, where the k0and φ represent the magnitude and direction of magnetic field, and L is the length of this junction

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各区域的波函数可以写作入射波和反射波在该区域的叠加，其二分量形式为：

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2 结果和讨论

首先，假设磁场k0=0，考虑静电势垒对电子隧穿的影响.图2显示了不同电压下电子透射概率T在ky-kz平面上的投影作为ky和kz的函数，由图可见，通过调节电势与费米能的关系，可以获得不同的完美透射环.这主要是由于当电子波矢满足共振条件(7)时，电子的透射概率T(ky,kz,L,U,k0,φ)，此时电子可以自由通过电势垒，这种现象被称之为克莱因隧穿.该结果与Jalil等人观察到的结果也是完全相符的[11].

(7)

不仅如此，理论结果还发现：当电势垒偏离费米能较多时，几乎所有角度的电子都展现了完美的透射，反之，当电势垒接近费米能时，如U=0.95EF时，仅有正入射的电子能够完全透过.更有趣的是，其透射概率T(ky,kz,L,U,k0,φ)=1不依赖于电势垒的变化.这一点可以通过本征值方程来理解，当U=0.95EF时，由于入射波矢较小，此时仅有正入射电子(即ky=kz=0)能以实数波透过电势垒，而其它角度的入射电子将通过倏逝波模式衰减.

图2 透射概率T作为ky和kz的函数投影到ky-kz平面.其它参数为kFL=5和k0=0Fig.2 Transmission probabilities T as a function of ky and kz projected on the ky-kz plane.The other parameters are kFL=5 and k0=0

图3 z方向上不同磁场大小调制的透射概率作为ky和kz的函数.其它参数为kFL=5，U=0和φ=0Fig.3 The magnetic field-modulated transmission probabilities as a function of ky and kz on z-direction of Fermi wave vector. The other parameters are kFL=5,U=0 and φ=0

考虑到电势垒和磁场单独作用时对该电子隧穿的影响，我们进一步研究了在电势垒U=0.95EF作用下，磁场幅度和方向对电子完美隧穿的影响，如图4所示.由图4(a)-(f) 发现，当U=0.95EF时，无论磁场幅度和方向如何变化，仅有某个特定方向上电子才能发生完美透射.重要的是，完美透射电子的入射角度受磁场幅度和方向控制，具体来讲，当磁场方向不变时，随着磁场幅度的增大，完美透射电子逐渐从k0=0的波矢中心向径向边缘移动.如当磁场沿y轴正向时(φ=0)，随着磁场增大，完美透射电子的入射角度逐渐从正入射变为沿z轴负向.另一方面，当磁场幅度不变时，随着磁场方位角φ逐渐增大，完美隧穿的电子将围绕波矢中心逆时针旋转相同的角度φ.由此可见，利用磁场幅度和方向的调控，可以获得任意角度入射电子的完美隧穿，该结果对电子滤波器的实现有重要的实际意义.

图4 磁场幅度和方向调制的透射概率作为ky和kz的函数.其它参数为kFL=5和U=0.95EFFig.4 The magnetic barrier magnitude and direction-modulated transmission probabilities as functions of ky and kz . The other parameters are kFL=5 and U=0.95EF

基于电子透射概率，进一步研究了不同电势垒和磁场作用下电子隧穿的电荷电导随隧道结长度L的变化关系，如图5所示.在图5(a)中，我们设置磁场k0=0，研究了电势垒对电荷电导的影响，由图可见，当U>0且隧道结长度kFL<5时，电荷电导呈指数式衰减，随后基本保持不变.当电势垒逐渐增大到U=0.95EF时，电荷电导则几乎被压制到0，这主要是由于在电势U=0.95EF作用时，除正入射电子外，其它角度入射的电子都被该隧道结过滤.尽管如此，在较大电势垒U=1.9EF和电势阱U=-0.4EF作用时，电荷电导均表现出大幅度增强.此外，研究发现，随着磁场幅度的增大，电荷电导又逐渐被抑制到0，如图5(b)所示.该结果可以为实现电势垒和磁场调控的电子开关提供理论依据.

图5 不同电势垒(a)和磁场(b)影响下电荷电导随隧道结长度kFL的变化函数.其它参数为(a) k0=0 , (b) U=0.95EF 和φ=0Fig.5 The charge conductance G(L)/G(0) as a function of the length kFL under the influence of several different electric barriers (a) and magnetic barriers (b). The other parameters are k0=0 in (a) and U=0.95EF, φ=0 in (b)

图6 z方向上磁场幅度调制的电荷电导G(k0,U)/G(0,0)随电势的函数关系.其它参数为kFL=5和φ=0Fig.6 The z-direction magnetic barrier-modulated charge conductance G(k0,U)/G(0,0) as a function of electric barrier. The other parameters are kFL=5 and φ=0

3 结语

本文利用Landauer-Büttiker公式研究了Dirac-Weyl 半金属结中电磁控制的克莱因隧穿和电荷电导.研究发现，当电势垒偏离费米能较多时，几乎所有角度的电子都展现了完美的透射，而当电势垒接近费米能时，仅有正入射的电子能够完全透过.结合磁场幅度和方向的调控，可以获得任意角度入射电子的完美透射，实现电子滤波的功能.进一步研究发现，利用电势垒和磁场调控电荷电导，可以实现电子开关的功能.最后，在磁场作用下，观察到一个磁场依赖的电荷电导输运空隙，且空隙宽度随磁场增大而增宽.这些理论结果不仅可以帮助我们了解Dirac-Weyl半金属结中电子的输运特点，而且可以为相关电子器件的制造提供理论依据.