可压缩非牛顿流体力学方程组若干问题的研究
2019-06-24郭真华方莉刘进静
郭真华,方莉,刘进静
(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)
1 非牛顿流体力学方程组研究概况
Navier-Stokes方程组是最经典的流体力学方程组,是由法国工程师、物理学家C.L.Navier和爱尔兰数学家、物理学家 G.G.Stokes的名字命名的,它建立了流体的粒子动量改变率与作用在流体内部的压力、黏滞力 (内摩擦力)以及引力之间的关系.这些黏滞力产生于分子之间的相互作用,能够定量地描述流体的黏性.从而,Navier-Stokes方程组可以描述任意给定区域上作用于流体的力的动态平衡.一般地,等熵可压缩流体力学的Navier-Stokes方程组可以表述为:
其中Ω⊆Rn,x∈Ω,b是流体所受的外力密度,
是流体的速度,ρ是流体的密度,P为依赖于特定物理模型的应力特征方程,
是剪切速率张量,Js(D)为D=(Dij)的基本不变量以及|D|2=D:D(见文献[1-2]).如果应力特征方程P是关于D的线性函数,即
(其中I是单位张量,p是压力,β和γ是黏性系数),系统(1)是牛顿流体的模型;否则,系统(1)是非牛顿流体的模型.
比较常见的非牛顿流体有熔融塑料、聚合物溶液、染料、涂料悬浮液、润滑脂,纸浆以及血液等生物学流体.非牛顿流体力学方程组中最简单的应力特征方程是
其中0 其中µ0,µ1为给定非负数,依据µ0,µ1,p不同的取值,P表示不同模型的应力特征方程,例如: 另外,从物理特征的角度出发:当1 可压缩非牛顿方程组(3)具有很强的非线性性质,故一直以来对其的研究进展缓慢.而对应的可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程组的研究已经有了较为丰富的研究结果,对牛顿流的很多研究思想可以借鉴到非牛顿流的研究中,特别地,若考虑非牛顿流体中基本波的相互作用,按目前牛顿流体基本波的研究方法,可压缩非牛顿流体方程组中的非线性项可能影响不大,但结果或许能解释非牛顿流体运动的独特规律.下面先来回顾一下可压缩牛顿流方程组的相关研究. 可压缩牛顿流方程组: 解适定性研究近十年来已经取得了一系列非常重要的进展,许多著名数学家在这方面做出了重要贡献.特别在黏性系数为正常数的Navier-Stokes方程组方面,当初始密度远离真空时,方程(4)光滑解的局部适定性理论已经解决.借助经典的能量方法,文献[2]证明了有界区域上解的唯一性定理;1970年-1976年,Itaya运用Tikhonov不动点定理系统地建立了Cauchy问题解的存在唯一性理论[5-7].1977年,Tani系统地研究了方程(4)的初边值问题[8].在一维空间拉格朗日坐标下相应系统的光滑解的大初值存在性理论,也取得了较为完善的研究结果,具体可参见文献[9-10].在三维空间中,当初值是某个非真空平衡态的光滑小扰动时文献[11]得到了整体光滑解的存在性.当初值可能不连续且初始密度和温度都有严格正下界时,在文献[12-14]中得到了三维空间整体弱解的存在性.1998年,Xin给出了初值具有紧支撑的任意维Navier-Stokes方程组光滑解的爆破准则[15].2004年-2006年,Cho等人通过引入初始层的适当相容性条件,对初始密度没有一致正下界做出了合理的补偿,建立了一系列与初始密度下界无关的先验估计[16-17].在此基础上,Cho等人建立了关于三维全空间上大初值含真空状态的局部光滑解存在性理论的框架性工作.2012年,Duan等人把这个工作推广到了二维情形[18].在初始能量充分小的假设下,文献[19]把文献[17]中三维全空间上的局部光滑解推广到了整体解且允许初值有任意大的振荡.与黏性系数为正常数的可压缩牛顿流体力学方程组的研究所取得的进展相比,黏性系数依赖于密度的可压牛顿流体力学方程组相关的数学进展还比较少,并且一些基本的数学问题没有得到解决.2003年-2004年,Bresh等人发现了著名的BD熵结构[20-21],此熵结构提供了一个对密度正则性的一致估计,该估计在很大程度上弥补了由密度一致下界的缺失引起的困难,对相关模型中密度含真空的有限能量整体弱解的构造起了相当重要的作用,具体可参见文献[22-26].对Navier-Stokes方程组的研究还可参看文献[27-30]等. 可压缩Navier-Stokes方程组中对基本波的稳定性研究也是一个令人关注的研究课题,目前的结果主要集中在一维情形.这里,基本波的稳定性我们主要关注两类问题,一类是消失黏性极限问题,另一类是解的长时间行为.对于一维可压缩Navier-Stokes方程组的消失黏性极限问题: 其中,θ是温度,e是内能,µ>0是黏性常数,κ>0是热传导系数,p是压力,对于理想气体,压力取为 其消失黏性极限问题的研究,涉及疏散波的可以参考文献[37-38];涉及激波的可以参考文献[39];接触间断参看文献[40];复合波可参考文献[41-42]. 对波的长时间行为的研究,当黏性系数是常数时,文献[43-44]在初始扰动充分小且初始扰动积分为零的条件下证明了黏性激波的稳定性.在等熵情形下,文献[45]把这一结果推广到初始扰动积分可以不等于零的情形.文献[46]考虑了带有边界效应的黏性激波的渐近稳定性.文献[47]研究了可压缩非等熵Navier-Stokes方程组两个黏性激波复合时的渐近稳定性.当黏性系数依赖于密度时,文献[48]在初始扰动积分为零和的条件下得到了黏性激波的渐近稳定性. 除了以上的基本波之外,还有一类新的波的稳定性也被广泛地研究,即,边界层的长时间行为.文献[49]在研究以下Navier-Stokes方程组初边值问题时提出了边界层并对边界层解的长时间行为做了分类: 其中,v−>0,u−>0,v+,u+是常数,边界移动速度是 问题(8)也被称为内流问题.文献[50]给出了边界层渐近稳定性的严格证明并考虑了边界层和疏散波复合时解的长时间行为.文献[51]证明了黏性激波和边界层复合时解的渐近稳定性.对非等熵可压缩Navier-Stokes方程组的内流问题: 其中,(v±,u±,θ±)为常数,压力p取为(7).文献[52]证明了亚音速边界层与3-疏散波的渐近稳定性;文献[53-54]证明了边界层与接触间断、疏散波复合时解的渐近稳定性. 回到本文要介绍的非牛顿流体力学方程的研究而言,可以借鉴牛顿流体力学方程的研究方法和思路.事实上,对于基本波在非牛顿流体中的运动,如心脏对血液流体搏动产生的波动问题,医学人员早已在临床上观察到.从这件事上可以看出,研究非牛顿流体方程中基本波的稳定性问题是一个具有很好应用背景的研究领域,近十年来非牛顿方程组的研究也取得了长足的进展,非牛顿流体力学方程的研究成果也逐步成为近代流体力学方程数学理论研究的一个重要分支,由于其丰富的物理内涵和多样的数学形式,非牛顿流体力学方程组引起了物理学家和数学家的广泛重视. 对不可压缩非牛顿流体力学方程组的研究,文献[55-56]分别给出了在不同参数下的Young测度值解的存在性.文献[57]得到了当p2时二维不可压非牛顿流体力学方程组弱解的存在性.文献[58]中证明了二维无界区域上不可压非牛顿流体力学方程组解的存在性.特别地,郭柏灵院士等研究者在专著[59]中系统地研究了不可压非牛顿流力学方程组解的性质、整体吸引子、指数吸引子及惯性流形. 虽然专著[4,56,59]中详细地阐述了不可压非牛顿流体的数学理论,然而可压缩非牛顿流体力学方程组的研究结果甚微(除了 Young测度解的存在性以外).例如,文献[60]中证明了一类等熵的可压缩非牛顿偶极流体力学方程组解的存在性.文献[1]证明了二维和三维可压缩非牛顿流具有充分正则性解的全局存在性.陈明涛在文献[61]中证明了一类带有非牛顿位势的等熵Navier-Stokes方程组整体解的存在性.袁洪君教授及其合作者给出了一维可压缩非牛顿流体力学方程组初边值问题强解的局部存在唯一性[62-63].文献[64]中给出了一类可压缩非牛顿流体动力学方程组初边值问题全局弱解存在性理论.文献[65]中Guo等人研究了文献[64]所给弱解的长时间行为.此外,在非牛顿流体中也存在播的传播现象,例如,在血液流中医生可以通过听诊器听到“pistol shot sounds”[66]的现象就是激波在血管中的传播.文献[67]研究了非等熵可压缩非牛顿流疏散波的渐近稳定性. 近年来,我们团队对可压缩非牛顿流体动力学方程组解的适定性进行了探索[68-76].本文将结合我们团队在可压缩非牛顿流体力学方程组方面的研究结果,介绍可压缩非牛顿流体力学方程组的最新研究进展,从总的情况而言,一维问题的研究进展较大,高维问题的复杂程度很大导致研究结果少,进展甚微. 一维可压缩Eills流体力学方程组解的适定性结论主要集中在多方气体压力下初边值问题强解理论方面,即,π≡π(ρ)=Aργ(A>0,γ>1为给定常数).文献 [77]研究了p>2情形下一维有界区间I上初始密度具有真空的一类可压缩非牛顿流体力学方程组 初边值问题强解的局部存在唯一性,通过对初值引入相容条件 建立了系统(10)-系统(11)初边值问题的局部强解理论.此外,在v是已知函数的前提下,文献[78]研究了p>2情形下一维有界区间I上初始密度具有真空的一类可压缩非牛顿流体力学方程组 初边值问题强解的全局存在唯一性,通过对初值引入相容条件(11)建立了系统(12)初边值问题的全局强解理论.文献[71]研究了在p>2情形下一维有界区间I上系统 当初值满足相容条件 时局部强解的存在性,并给出了以ux为变量的Beale-Kato-Majda类型的爆破准则 其中,T∗是强解 (ρ,u)存在的最大时刻. 此外,对于一维可压缩 Eills流体力学方程组的经典解也有部分探索性结果.文献[70]讨论了在1 初边值问题的经典解,证明了当初值满足相容条件 时系统(15)的经典解是局部存在性的. 对于一维全空间或半空间上可压缩Eills流体力学方程组解的适定性方面,作者也做了一些探索性研究.文献[73]中考虑了在p>2情形下,当ε>0为给定正常数时一维全空间上系统零耗散极限问题,证明了系统(17)存在一列(依赖于黏性系数ε)的整体解,指出随着黏性系数ε趋于零此整体解是渐近稳定的.此外,文献[76]中考虑了在p>2情形下半空间{x>0:x∈R}上系统 的外流问题,采用文献[79]中证明静态解存在性的方法指出系统(18)静态解的存在性,对系统(18)进行相对于静态解的小扰动,得到了扰动解的一致估计,证明了系统(18)相对于静态解在小扰动下是渐进稳定的. 一维空间区间I上的可压缩Ostwald-de Waele流体力学方程组可以表示如下: 其初始值为 系统(19)中µ0=0导致了方程组是具有奇异性的,从而带来了估计速度低阶项的困难.此外,初始密度具有真空时,解的存在唯一性的研究是困难的. 目前,系统(19)-系统(20)初边值问题的强解(经典解)的存在性结果并不多.文献 [62]考虑了1 建立了系统(19)-系统(20)局部强解的存在唯一性理论.在此强解局部存在性理论的基础上,文献[69]研究了1 其中T∗是局部强解(ρ,u)存在的最大时刻.对于系统(19)-系统(20)初边值问题的经典解,文献[74]考虑了1 时系统(19)-系统(20)初边值问题的经典解,证明了系统(19)-系统(20)初边值问题经典解的全局存在唯一性.此外,文献[80]考虑了系统 对于研究系统(19)-系统(20)解的长时间行为,作者有一些探索性研究结果.文献[68]研究了一维空间中有界区间上外力密度f为零时系统(19)-系统(20)在自由边界条件下的解析解,采用分离变量的思想构造了解析解,进一步证明了对于任意p>1所构造的解析解是全局存在的并给出了解析解的大时间衰减估计.对于波的稳定性研究,文献[82]研究了半平面{x∈R|x>0}上系统 当状态方程π(ρ) 满足ρπ′′(ρ)+2π′(ρ)>0(ρ>0) 以及p>2 时的内流问题,证明了边界层解的存在性以及最大存在区间,还证明了当边界层强度和初始扰动适当小时系统(23)内流问题解的全局存在性以及边界层的长时间行为. 我们的团队今后将针对可压缩非牛顿流体力学方程组波的稳定性,高维非牛顿流体力学方程组解的适定性展开研究.由于可压缩非牛顿流体广泛存在于石油、血液、生物熔剂等实际生活中,与石油开发、血液动力学息息相关的黏性系数依赖于密度和温度的可压缩非牛顿流体力学方程组在各种边界条件下解的适定性也是值得探索的. 从近年来可压缩非牛顿流体力学方程组研究工作可以看出,为了克服可压缩非牛顿流体力学方程组中应力特征方程强非线性项带来的困难,一些新的观察、想法和技巧需要被引入,才能推动可压缩非牛顿流体力学方程组数学理论的进一步完善.
2 一维可压缩 Eills流体力学方程组 (µ0>0,µ1>0)的研究
3 一维可压缩 Ostwald-de Waele流体力学方程组(µ0=0,mu1>0)的研究
4 以后的研究方向
